Cálculo Ejemplos

$32 e^{x} - e^{2 x}$

Paso 1

Escribe $32 e^{x} - e^{2 x}$ como una función.

$f (x) = 32 e^{x} - e^{2 x}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $32 e^{x} - e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Paso 2.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32 e^{x}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Paso 2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$32 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$32 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.1.1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$32 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.1.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.1.1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Paso 2.1.1.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Paso 2.1.1.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$32 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Paso 2.1.1.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 32 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $32 e^{x} - 2 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Paso 2.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32 e^{x}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Paso 2.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$32 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$32 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.1.2.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.1.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.1.2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Paso 2.1.2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Paso 2.1.2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$32 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Paso 2.1.2.3.7

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $32 e^{x} - 4 e^{2 x}$ .

$32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.2.1

Reescribe $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$32 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

Paso 2.2.2.2

Sea $u = e^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $e^{x}$ .

$32 u - 4 u^{2} = 0$

Paso 2.2.2.3

Factoriza $4 u$ de $32 u - 4 u^{2}$ .

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Paso 2.2.2.3.1

Factoriza $4 u$ de $32 u$ .

$4 u (8) - 4 u^{2} = 0$

Paso 2.2.2.3.2

Factoriza $4 u$ de $- 4 u^{2}$ .

$4 u (8) + 4 u (- u) = 0$

Paso 2.2.2.3.3

Factoriza $4 u$ de $4 u (8) + 4 u (- u)$ .

$4 u (8 - u) = 0$

Paso 2.2.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x}$ .

$4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

Paso 2.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

Paso 2.2.4

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.4.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 2.2.4.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 2.2.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.2.4.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 2.2.5

Establece $8 - e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.5.1

Establece $8 - e^{x}$ igual a $0$ .

$8 - e^{x} = 0$

Paso 2.2.5.2

Resuelve $8 - e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- e^{x} = - 8$

Paso 2.2.5.2.2

Divide cada término en $- e^{x} = - 8$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.2.5.2.2.1

Divide cada término en $- e^{x} = - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.2.5.2.2.2.2

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.5.2.2.3.1

Divide $- 8$ por $- 1$ .

$e^{x} = 8$

Paso 2.2.5.2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

Paso 2.2.5.2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.2.5.2.4.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (8)$

Paso 2.2.5.2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

Paso 2.2.5.2.4.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (8)$

Paso 2.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ verdadera.

$x = \ln (8)$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \ln (8))$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 32 e^{0} - 4 e^{2 (0)}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = 32 \cdot 1 - 4 e^{2 (0)}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $32$ por $1$ .

$f'' (0) = 32 - 4 e^{2 (0)}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f'' (0) = 32 - 4 e^{0}$

Paso 5.2.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = 32 - 4 \cdot 1$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (0) = 32 - 4$

Paso 5.2.2

Resta $4$ de $32$ .

$f'' (0) = 28$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $28$ .

$28$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, \ln (8))$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, \ln (8))$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(\ln (8), \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{2 (5)}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{10}$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $32 e^{5} - 4 e^{10}$ .

$32 e^{5} - 4 e^{10}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(\ln (8), \infty)$ porque $f'' (5)$ es negativa.

Cóncavo en $(\ln (8), \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, \ln (8))$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(\ln (8), \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8