Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ , $[0, 6]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[0, 6]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ .

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{4 x + 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$4 x + 1 \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$4 x \geq - 1$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $4 x \geq - 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $4 x \geq - 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{4}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Notación de intervalo:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, 6]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} \sqrt{4 x + 1} d x)$

Paso 5

Sea $u = 4 x + 1$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 4 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 4 x + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 5.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 4 x + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 6 + 1$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Multiplica $4$ por $6$ .

$u_{upper} = 24 + 1$

Paso 5.5.2

Suma $24$ y $1$ .

$u_{upper} = 25$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} (\frac{1}{4}) d u)$

Paso 6

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \frac{\sqrt{u}}{4} d u)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

Paso 8

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $25$ y en $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.3.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.3.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.4

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.6

Multiplica $2$ por $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1))$

Paso 10.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3}))$

Paso 10.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{250 - 2}{3})$

Paso 10.2.10

Resta $2$ de $250$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{248}{3})$

Paso 10.2.11

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{248}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{4 \cdot 3})$

Paso 10.2.12

Multiplica $4$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{12})$

Paso 10.2.13

Cancela el factor común de $248$ y $12$ .

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Paso 10.2.13.1

Factoriza $4$ de $248$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 (62)}{12})$

Paso 10.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.13.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

Paso 10.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

Paso 10.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{62}{3})$

Paso 11

Simplifica el denominador.

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Paso 11.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot \frac{62}{3}$

Paso 11.2

Suma $6$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{62}{3}$

Paso 12

Simplifica los términos.

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Paso 12.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{62}{3}$

Paso 12.1.2

Factoriza $2$ de $62$ .

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

Paso 12.1.3

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

Paso 12.1.4

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

Paso 12.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{31}{3}$ .

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

Paso 12.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$A (x) = \frac{31}{9}$

Paso 13