Cálculo Ejemplos

$t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.1.5

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + 0$

Paso 1.1.6

Suma $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ y $0$ .

$f' (t) = 4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (t)$ con respecto a $t$ es $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$

Paso 2.2

Factoriza $t$ de $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Factoriza $t$ de $4 t^{3}$ .

$t (4 t^{2}) + 3 t^{2} + 2 t = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $t$ de $3 t^{2}$ .

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + 2 t = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $t$ de $2 t$ .

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + t \cdot 2 = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza $t$ de $t (4 t^{2}) + t (3 t)$ .

$t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2 = 0$

Paso 2.2.5

Factoriza $t$ de $t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2$ .

$t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$t = 0$

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $t$ igual a $0$ .

$t = 0$

Paso 2.5

Establece $4 t^{2} + 3 t + 2$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece $4 t^{2} + 3 t + 2$ igual a $0$ .

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$ en $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = 3$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $t$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 2)}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.3.1.3

Resta $32$ de $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.3.1.4

Reescribe $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Paso 2.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.4.1.3

Resta $32$ de $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.4.1.4

Reescribe $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Paso 2.5.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$t = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{8}$

Paso 2.5.2.4.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{8}$

Paso 2.5.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{8}$

Paso 2.5.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ .

$t = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{8}$

Paso 2.5.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}$

Paso 2.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.5.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.5.1.3

Resta $32$ de $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.5.1.4

Reescribe $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Paso 2.5.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$t = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{8}$

Paso 2.5.2.5.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{8}$

Paso 2.5.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{8}$

Paso 2.5.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ .

$t = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{8}$

Paso 2.5.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$t = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Paso 2.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$ verdadera.

$t = 0, - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ en cada valor $t$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa en $t = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $t$ .

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

Paso 4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

Paso 4.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 0 + {(0)}^{2} + 1$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 0 + 0 + 1$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0 + 1$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 1$

Paso 4.1.2.2.3

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, 1)$

Paso 5