Cálculo Ejemplos

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.1.3

Como $2 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 0 + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 x + 0 + 2 y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $4 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.4.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + 0$

Paso 1.1.5

Combina los términos.

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Paso 1.1.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x + 2 y + 2 + 0 + 0$

Paso 1.1.5.2

Suma $2 x + 2 y + 2$ y $0$ .

$2 x + 2 y + 2 + 0$

Paso 1.1.5.3

Suma $2 x + 2 y + 2$ y $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2 y + 2$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x + 2 y + 2$ .

$2 x + 2 y + 2$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x + 2 y + 2 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x + 2 y + 2 = 0$

Paso 2.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x + 2 = - 2 y$

Paso 2.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 2 y - 2$

Paso 2.3

Divide cada término en $2 x = - 2 y - 2$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 x = - 2 y - 2$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2} + \frac{- 2}{2}$

Paso 2.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2 (1)} + \frac{- 2}{2}$

Paso 2.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1} + \frac{- 2}{2}$

Paso 2.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- y}{1} + \frac{- 2}{2}$

Paso 2.3.3.1.1.2.4

Divide $- y$ por $1$ .

$x = - y + \frac{- 2}{2}$

Paso 2.3.3.1.2

Divide $- 2$ por $2$ .

$x = - y - 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - y - 1$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- y - 1$ por $x$ .

${(- y - 1)}^{2} + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Reescribe ${(- y - 1)}^{2}$ como $(- y - 1) (- y - 1)$ .

$(- y - 1) (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.2

Expande $(- y - 1) (- y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y (- y - 1) - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 \cdot - 1 y \cdot y - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.2.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$- 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$- 1 \cdot - 1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.3.1.4

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.3.1.5

Multiplica $- y \cdot - 1$ .

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Paso 4.1.2.1.3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} + 1 y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.3.1.5.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.3.1.6

Multiplica $- 1 (- y)$ .

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Paso 4.1.2.1.3.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} + y + 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.3.1.6.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} + y + y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.3.2

Suma $y$ y $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (2 (- y) + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y - 2) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y \cdot y - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.8

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.2.1.8.1

Mueve $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 (y \cdot y) - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.8.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y) + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.10

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.1.11

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.1.2.2.1

Combina los términos opuestos en $y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$ .

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Paso 4.1.2.2.1.1

Resta $2 y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 0 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.2.1.2

Suma $y^{2} + 2 y + 1$ y $0$ .

$y^{2} + 2 y + 1 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.2.1.3

Resta $2 y$ de $2 y$ .

$y^{2} + 0 + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.2.1.4

Suma $y^{2}$ y $0$ .

$y^{2} + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$y^{2} - 2 y - 1 + 4 y + 7$

Paso 4.1.2.2.3

Suma $- 2 y$ y $4 y$ .

$y^{2} + 2 y - 1 + 7$

Paso 4.1.2.2.4

Suma $- 1$ y $7$ .

$y^{2} + 2 y + 6$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(- y - 1, y^{2} + 2 y + 6)$

Paso 5