Cálculo Ejemplos

$10 \sec (x) + 5 \tan (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 \sec (x)$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \tan (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.1.3.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$

Paso 2.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\sec (x)$ igual que $\frac{π}{2} + π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Evalúa $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{7 π}{6}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{7 π}{6}$ por $x$ .

$10 \sec (\frac{7 π}{6}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la obtención del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la secante es negativa en el tercer cuadrante.

$10 (- \sec (\frac{π}{6})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.2

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{6})$ es $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- \frac{2}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.1.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.1.2.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.4.6.5

Evalúa el exponente.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.5

Multiplica $10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Paso 4.1.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.5.2

Combina $- 10$ y $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- 10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.5.3

Multiplica $2$ por $- 10$ .

$\frac{- 20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Paso 4.1.2.1.7

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{π}{6})$

Paso 4.1.2.1.8

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 4.1.2.1.9

Combina $5$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.1.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 20 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $- 20 \sqrt{3}$ y $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 15 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.1.2.2.3

Cancela el factor común de $- 15$ y $3$ .

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Paso 4.1.2.2.3.1

Factoriza $3$ de $- 15 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3}$

Paso 4.1.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Paso 4.1.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Paso 4.1.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{1}$

Paso 4.1.2.2.3.2.4

Divide $- 5 \sqrt{3}$ por $1$ .

$- 5 \sqrt{3}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = \frac{11 π}{6}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $\frac{11 π}{6}$ por $x$ .

$10 \sec (\frac{11 π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$10 \sec (\frac{π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2.1.2

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{6})$ es $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$10 \frac{2}{\sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2.1.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.2.2.1.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2.1.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2.1.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.2.2.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2.1.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2.1.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2.1.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2.1.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2.1.4.6.5

Evalúa el exponente.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2.1.5

Multiplica $10 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 4.2.2.1.5.1

Combina $10$ y $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2.1.5.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Paso 4.2.2.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el cuarto cuadrante.

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \tan (\frac{π}{6}))$

Paso 4.2.2.1.7

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 4.2.2.1.8

Multiplica $5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

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Paso 4.2.2.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.2.1.8.2

Combina $- 5$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{20 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.2.2.2

Resta $5 \sqrt{3}$ de $20 \sqrt{3}$ .

$\frac{15 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.2.2.3

Cancela el factor común de $15$ y $3$ .

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Paso 4.2.2.2.3.1

Factoriza $3$ de $15 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3}$

Paso 4.2.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Paso 4.2.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Paso 4.2.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \sqrt{3}}{1}$

Paso 4.2.2.2.3.2.4

Divide $5 \sqrt{3}$ por $1$ .

$5 \sqrt{3}$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{7 π}{6} + 2 π n, - 5 \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6} + 2 π n, 5 \sqrt{3})$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5