Cálculo Ejemplos

$16 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $16 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$16 + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

$16 + 2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.1.3.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Paso 1.1.3.6.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Paso 1.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Paso 1.1.3.8

Combina $x^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$16 + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Paso 1.1.3.9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$16 - 2 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Paso 1.1.3.10

Combina $- 2$ y $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$16 + \frac{- 2 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Paso 1.1.3.11

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.3.12

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$16 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.3.13

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.13.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$16 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Paso 1.1.3.13.2

Cancela el factor común.

$16 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.3.13.3

Reescribe la expresión.

$16 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 2.2

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - 16$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{\frac{3}{2}}, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - 16$ por $x^{\frac{3}{2}}$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - 16$ por $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{3}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$ .

$- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$

Paso 2.5.2

Divide cada término en $- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$ por $- 16$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Divide cada término en $- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$ por $- 16$ .

$\frac{- 16 x^{\frac{3}{2}}}{- 16} = \frac{- 1}{- 16}$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 16 x^{\frac{3}{2}}}{- 16} = \frac{- 1}{- 16}$

Paso 2.5.2.2.2

Divide $x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} = \frac{- 1}{- 16}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{16}$

Paso 2.5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{2}{3}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.5.4

Simplifica el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.5.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.5.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.5.4.1.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.5.4.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.5.4.1.1.2

Simplifica.

$x = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.2.1

Simplifica ${(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{16}$ .

$x = \frac{1^{\frac{2}{3}}}{16^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.5.4.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$16 - \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{x^{3}} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{3} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{3} = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 3.3.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 3.4

Establece el radicando en $\sqrt{x^{3}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} < 0$

Paso 3.5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Paso 3.5.2

Simplifica la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x < 0$

Paso 3.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 4

Evalúa $16 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$ por $x$ .

$16 (\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}) + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Combina $16$ y $\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{16}{16^{\frac{2}{3}}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.2

Mueve $16^{\frac{2}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$16 \cdot 16^{- \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $16$ por $16^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $16$ por $16^{- \frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.3.1.1

Eleva $16$ a la potencia de $1$ .

$16^{1} \cdot 16^{- \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16^{1 - \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$16^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$16^{\frac{3 - 2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.3.4

Resta $2$ de $3$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.4

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$16^{\frac{1}{3}} + 2 {(16^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.5

Multiplica los exponentes en ${(16^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 16^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 16^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.5.2.2

Reescribe la expresión.

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 16^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $2 \cdot 16^{\frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.6.1

Reescribe $16$ como $2^{4}$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.1.2.6.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{4})}^{\frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 4.1.2.6.2.2

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$

Paso 4.1.2.6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{1 + \frac{4}{3}}$

Paso 4.1.2.6.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{3}{3} + \frac{4}{3}}$

Paso 4.1.2.6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{3 + 4}{3}}$

Paso 4.1.2.6.6

Suma $3$ y $4$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{7}{3}}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$16 (0) + 2 {(0)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $16$ por $0$ .

$0 + 2 {(0)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 2 \frac{1}{0^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2.2.1.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$0 + 2 \frac{1}{{(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 2 \frac{1}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 4.2.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$0 + 2 \frac{1}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 4.2.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$0 + 2 \frac{1}{0^{1}}$

Paso 4.2.2.1.3.4

Evalúa el exponente.

$0 + 2 (\frac{1}{0})$

Paso 4.2.2.1.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$0 + 2 (\frac{1}{0})$

Paso 4.2.2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$0 + 2 (\frac{1}{0})$

Paso 4.2.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}, 16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{7}{3}})$

Paso 5