Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{n} \cos (x) d x$

Paso 1

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Paso 1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{1} u^{n} d u$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{n}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}$ .

$\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}]_{0}^{1}$

Paso 3

Combina $\frac{1}{n + 1}$ y $u^{n + 1}$ .

$\frac{u^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{1^{n + 1}}{n + 1}) - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{n + 1} - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

Paso 4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$