Cálculo Ejemplos

$y (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x - 9)}^{2}$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.3.3

Multiplica ${(x - 9)}^{2}$ por $1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 9$ .

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Paso 1.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 9$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 9$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.5.2

Factoriza $x - 9$ de ${(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $x - 9$ de ${(x - 9)}^{2}$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $x - 9$ de $- 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $x - 9$ de $(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.6.1

Factoriza $x - 9$ de ${(x - 9)}^{4}$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.6.2

Cancela el factor común.

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.6.3

Reescribe la expresión.

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.9

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.10

Simplifica los términos.

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Paso 1.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.10.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.10.3

Resta $2 x$ de $x$ .

$6 \frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.10.4

Combina $6$ y $\frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.11

Simplifica.

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Paso 1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (- x) + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.11.2.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{- 6 x + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.11.2.2

Multiplica $6$ por $- 9$ .

$\frac{- 6 x - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.11.3

Factoriza $6$ de $- 6 x - 54$ .

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Paso 1.11.3.1

Factoriza $6$ de $- 6 x$ .

$\frac{6 (- x) - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.11.3.2

Factoriza $6$ de $- 54$ .

$\frac{6 (- x) + 6 (- 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.11.3.3

Factoriza $6$ de $6 (- x) + 6 (- 9)$ .

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.11.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{6 (- (x) - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.11.5

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$\frac{6 (- (x) - 1 (9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.11.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{6 (- (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.11.7

Reescribe $- (x + 9)$ como $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{6 (- 1 (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.11.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece el numerador igual a cero.

$6 (x + 9) = 0$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $6 (x + 9) = 0$ por $6$ y simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Divide cada término en $6 (x + 9) = 0$ por $6$ .

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 2.2.1.2.1.2

Divide $x + 9$ por $1$ .

$x + 9 = \frac{0}{6}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.3.1

Divide $0$ por $6$ .

$x + 9 = 0$

Paso 2.2.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 9$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ en $x = - 9$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 9$ en la expresión.

$f (- 9) = \frac{6 (- 9)}{{((- 9) - 9)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Multiplica $6$ por $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 9 - 9)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.2.1

Resta $9$ de $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 18)}^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Eleva $- 18$ a la potencia de $2$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{324}$

Paso 3.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común de $- 54$ y $324$ .

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Paso 3.2.3.1.1

Factoriza $54$ de $- 54$ .

$f (- 9) = \frac{54 (- 1)}{324}$

Paso 3.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.1.2.1

Factoriza $54$ de $324$ .

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

Paso 3.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

Paso 3.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 9) = \frac{- 1}{6}$

Paso 3.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 9) = - \frac{1}{6}$

Paso 3.2.4

La respuesta final es $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Paso 4

La tangente horizontal en la función $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ es $y = - \frac{1}{6}$ .

$y = - \frac{1}{6}$

Paso 5