Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.1.7.3

Mueve ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.1.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Paso 1.1.11

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Paso 1.1.11.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 1.1.11.3

Combina $\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.11.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.11.5

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{x}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{1}}}$

Paso 3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{x^{2} - 1} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x^{2} - 1 = 0^{2}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 1$

Paso 3.3.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 3.3.3.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 3.3.3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 3.3.3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 3.3.3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 3.4

Establece el radicando en $\sqrt{x^{2} - 1}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 1 < 0$

Paso 3.5

Resuelve $x$

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Paso 3.5.1

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} < 1$

Paso 3.5.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{1}$

Paso 3.5.3

Simplifica la ecuación.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | < \sqrt{1}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.2.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$| x | < 1$

Paso 3.5.4

Escribe $| x | < 1$ como una función definida por partes.

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Paso 3.5.4.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 3.5.4.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x < 1$

Paso 3.5.4.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 3.5.4.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x < 1$

Paso 3.5.4.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x < 1 & x \geq 0 \\ - x < 1 & x < 0 \end{cases}$

Paso 3.5.5

Obtén la intersección de $x < 1$ y $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 1$

Paso 3.5.6

Resuelve $- x < 1$ cuando $x < 0$ .

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Paso 3.5.6.1

Divide cada término en $- x < 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.5.6.1.1

Divide cada término de $- x < 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{1}{- 1}$

Paso 3.5.6.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.6.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{1}{- 1}$

Paso 3.5.6.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{1}{- 1}$

Paso 3.5.6.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.6.1.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$x > - 1$

Paso 3.5.6.2

Obtén la intersección de $x > - 1$ y $x < 0$ .

$- 1 < x < 0$

Paso 3.5.7

Obtén la unión de las soluciones.

$- 1 < x < 1$

Paso 3.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$- 1 \leq x \leq 1$

$[- 1, 1]$

$- 1 \leq x \leq 1$

$[- 1, 1]$

Paso 4

Evalúa $\sqrt{x^{2} - 1}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\sqrt{{(0)}^{2} - 1}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sqrt{0 - 1}$

Paso 4.1.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$\sqrt{- 1}$

Paso 4.1.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$i$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} - 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Paso 4.2.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$\sqrt{0}$

Paso 4.2.2.3

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Paso 4.2.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - 1}$

Paso 4.3.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$\sqrt{0}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Paso 4.3.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(- 1, 0), (1, 0)$

Paso 5