Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{6} {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ y ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ de ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Paso 2.2.1.2.4

Divide ${(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Paso 2.2.2

Suma $n$ y $0$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - (n - 1)}$

Paso 2.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n - - 1}$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n + 1}$

Paso 2.2.4

Resta $n$ de $n$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{0 + 1}$

Paso 2.2.5

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{1}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$r = \frac{1}{4}$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $n$ en ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{4})}^{1 - 1}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = {(\frac{1}{4})}^{0}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$a = \frac{1^{0}}{4^{0}}$

Paso 3.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = \frac{1}{4^{0}}$

Paso 3.2.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Paso 3.2.5

Divide $1$ por $1$ .

$a = 1$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ por $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Paso 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

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Paso 5.2.1

Multiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Paso 5.2.2

Combinar.

$\frac{4 (1 - {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{1}{4})}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{1}{4})}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4 + 4 (- \frac{1^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1^{6}}{4^{6}}$ al numerador.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.3.2

Factoriza $4$ de $4^{6}$ .

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{4 + \frac{- 1^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.5

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 + \frac{- 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4 - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.8

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.9

Combina $4$ y $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{4 \cdot 1024 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.11

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.11.1

Multiplica $4$ por $1024$ .

$\frac{\frac{4096 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.11.2

Resta $1$ de $4096$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.6

Simplifica el denominador.

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Paso 5.6.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 - 1}$

Paso 5.6.2

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{3}$

Paso 5.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{4095}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.8.1

Factoriza $3$ de $4095$ .

$\frac{3 (1365)}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.8.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1365}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1365}{1024}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1365}{1024}$

Forma decimal:

$1.33300781 \dots$

Forma de número mixto:

$1 \frac{341}{1024}$