Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{x}{7 x^{2} + 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{x}{7 x^{2} + 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x}{7 x^{2} + 1}] + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 7 x^{2} + 1$ .

$- \frac{(7 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 1]}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{(7 x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 1]}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $7 x^{2} + 1$ por $1$ .

$- \frac{7 x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 1]}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{7 x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.4

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{7 x^{2} + 1 - x (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{7 x^{2} + 1 - x (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.6

Multiplica $2$ por $7$ .

$- \frac{7 x^{2} + 1 - x (14 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{7 x^{2} + 1 - x (14 x + 0)}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.8.1

Suma $14 x$ y $0$ .

$- \frac{7 x^{2} + 1 - x (14 x)}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.8.2

Multiplica $14$ por $- 1$ .

$- \frac{7 x^{2} + 1 - 14 x \cdot x}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{7 x^{2} + 1 - 14 (x^{1} x)}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{7 x^{2} + 1 - 14 (x^{1} x^{1})}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{7 x^{2} + 1 - 14 x^{1 + 1}}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.7

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.1.7.1

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{7 x^{2} + 1 - 14 x^{2}}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.7.2

Resta $14 x^{2}$ de $7 x^{2}$ .

$- \frac{- 7 x^{2} + 1}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{- 7 x^{2} + 1}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{7 x^{2} + 1} \cdot 0$

Paso 1.1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.9.1

Multiplica $\frac{x}{7 x^{2} + 1}$ por $0$ .

$- \frac{- 7 x^{2} + 1}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} + 0$

Paso 1.1.9.2

Suma $- \frac{- 7 x^{2} + 1}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}}$ y $0$ .

$- \frac{- 7 x^{2} + 1}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.10

Simplifica.

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Paso 1.1.10.1

Factoriza $- 1$ de $- 7 x^{2}$ .

$- \frac{- (7 x^{2}) + 1}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.10.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (7 x^{2}) - 1 (- 1)}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.10.3

Factoriza $- 1$ de $- (7 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (7 x^{2} - 1)}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.10.4

Reescribe $- (7 x^{2} - 1)$ como $- 1 (7 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{- 1 (7 x^{2} - 1)}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.10.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{7 x^{2} - 1}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.10.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{7 x^{2} - 1}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.10.7

Multiplica $\frac{7 x^{2} - 1}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{7 x^{2} - 1}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{7 x^{2} - 1}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{7 x^{2} - 1}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{7 x^{2} - 1}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{7 x^{2} - 1}{{(7 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$7 x^{2} - 1 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$7 x^{2} = 1$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $7 x^{2} = 1$ por $7$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $7 x^{2} = 1$ por $7$ .

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{1}{7}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{1}{7}$

Paso 2.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{7}$

Paso 2.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{7}}$

Paso 2.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{7}}$ .

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{7}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$

Paso 2.3.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{7}}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Paso 2.3.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 2.3.4.4.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Paso 2.3.4.4.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Paso 2.3.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Paso 2.3.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 2.3.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Paso 2.3.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{7}$

Paso 2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{7}}{7}$

Paso 2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Paso 2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $- \frac{x}{7 x^{2} + 1}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{\sqrt{7}}{7}$ por $x$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{7}}{7}}{7 {(\frac{\sqrt{7}}{7})}^{2} + 1}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (\frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 {(\frac{\sqrt{7}}{7})}^{2} + 1})$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$- (\frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{{\sqrt{7}}^{2}}{7^{2}} + 1})$

Paso 4.1.2.2.2

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 4.1.2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{7^{2}} + 1})$

Paso 4.1.2.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{7^{2}} + 1})$

Paso 4.1.2.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- (\frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{7^{\frac{2}{2}}}{7^{2}} + 1})$

Paso 4.1.2.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$- (\frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{7^{\frac{2}{2}}}{7^{2}} + 1})$

Paso 4.1.2.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$- (\frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{7^{1}}{7^{2}} + 1})$

Paso 4.1.2.2.2.5

Evalúa el exponente.

$- (\frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{7}{7^{2}} + 1})$

Paso 4.1.2.2.3

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$- (\frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 (\frac{7}{49}) + 1})$

Paso 4.1.2.2.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.1.2.2.4.1

Factoriza $7$ de $49$ .

$- (\frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{7}{7 (7)} + 1})$

Paso 4.1.2.2.4.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{7}{7 \cdot 7} + 1})$

Paso 4.1.2.2.4.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{\frac{7}{7} + 1})$

Paso 4.1.2.2.5

Divide $7$ por $7$ .

$- (\frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{1 + 1})$

Paso 4.1.2.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$- (\frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $\frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{7}}{7}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{7}}{7 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{7}}{14}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- \frac{\sqrt{7}}{7}$ por $x$ .

$- \frac{- \frac{\sqrt{7}}{7}}{7 {(- \frac{\sqrt{7}}{7})}^{2} + 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 {(- \frac{\sqrt{7}}{7})}^{2} + 1})$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{7}}{7})}^{2}) + 1})$

Paso 4.2.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{7}}^{2}}{7^{2}}) + 1})$

Paso 4.2.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 (1 \frac{{\sqrt{7}}^{2}}{7^{2}}) + 1})$

Paso 4.2.2.2.3

Multiplica $\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{7^{2}}$ por $1$ .

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{{\sqrt{7}}^{2}}{7^{2}} + 1})$

Paso 4.2.2.2.4

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 4.2.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{7^{2}} + 1})$

Paso 4.2.2.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{7^{2}} + 1})$

Paso 4.2.2.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{7^{\frac{2}{2}}}{7^{2}} + 1})$

Paso 4.2.2.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{7^{\frac{2}{2}}}{7^{2}} + 1})$

Paso 4.2.2.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{7^{1}}{7^{2}} + 1})$

Paso 4.2.2.2.4.5

Evalúa el exponente.

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{7}{7^{2}} + 1})$

Paso 4.2.2.2.5

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 (\frac{7}{49}) + 1})$

Paso 4.2.2.2.6

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.2.2.2.6.1

Factoriza $7$ de $49$ .

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{7}{7 (7)} + 1})$

Paso 4.2.2.2.6.2

Cancela el factor común.

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{7 \frac{7}{7 \cdot 7} + 1})$

Paso 4.2.2.2.6.3

Reescribe la expresión.

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{\frac{7}{7} + 1})$

Paso 4.2.2.2.7

Divide $7$ por $7$ .

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{1 + 1})$

Paso 4.2.2.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$- (- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 4.2.2.3

Multiplica $- \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.2.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$- - \frac{\sqrt{7}}{2 \cdot 7}$

Paso 4.2.2.3.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$- - \frac{\sqrt{7}}{14}$

Paso 4.2.2.4

Multiplica $- - \frac{\sqrt{7}}{14}$ .

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Paso 4.2.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{7}}{14}$

Paso 4.2.2.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{7}}{14}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{7}}{14}$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{14}), (- \frac{\sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{7}}{14})$

Paso 5