Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ y $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2}) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) (x - 1)) \frac{d}{d x} (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.8

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.9.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.9.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 6) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Expande $(2 x - 6) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.4.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x (x - 1) - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.4.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.2.1.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.3.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.3.2

Resta $6 x$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.4

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - ((x - 1) (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.5

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.4.2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.4.2.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.6.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.6.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.6.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.6.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.6.2

Resta $x$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.8

Simplifica.

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Paso 1.1.4.2.1.8.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 6 + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.3

Suma $- 8 x$ y $2 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 6 - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.4

Resta $1$ de $6$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.3

Factoriza $x^{2} - 6 x + 5$ con el método AC.

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Paso 1.1.4.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 5, - 1$

Paso 1.1.4.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$(x - 5) (x - 1) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.3.2.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.3.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 5) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 5, 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 4

Evalúa $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 5$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $5$ por $x$ .

$\frac{{((5) - 1)}^{2}}{(5) - 3}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.1.1

Resta $1$ de $5$ .

$\frac{4^{2}}{5 - 3}$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16}{5 - 3}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.2.1

Resta $3$ de $5$ .

$\frac{16}{2}$

Paso 4.1.2.2.2

Divide $16$ por $2$ .

$8$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{{((1) - 1)}^{2}}{(1) - 3}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.1.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0^{2}}{1 - 3}$

Paso 4.2.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{1 - 3}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.2.1

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{0}{- 2}$

Paso 4.2.2.2.2

Divide $0$ por $- 2$ .

$0$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 3$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{(3) - 3}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{0}$

Paso 4.3.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(5, 8), (1, 0)$

Paso 5