Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 3}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 3$ y $g (x) = x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 3) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.2.7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 (x - 3) x}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.7.2

Factoriza $x$ de $x^{2} - 2 (x - 3) x$ .

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Paso 1.1.2.7.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 (x - 3) x}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.7.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 (x - 3) x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.7.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x (- 2 (x - 3))$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Paso 1.1.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 1.1.3.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x - 2 (x - 3)}{x^{3}}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x - 2 x - 2 \cdot - 3}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.4.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x + 6}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.2.2

Resta $2 x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 6}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{- (x) + 6}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.4

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{- (x) - 1 \cdot - 6}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{- (x - 6)}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.6

Reescribe $- (x - 6)$ como $- 1 (x - 6)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 6)}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x - 6}{x^{3}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x - 6}{x^{3}}$ .

$- \frac{x - 6}{x^{3}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x - 6}{x^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x - 6}{x^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x - 6 = 0$

Paso 2.3

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{x - 6}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 3.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $\frac{x - 3}{x^{2}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 6$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $6$ por $x$ .

$\frac{(6) - 3}{{(6)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.1.1

Resta $3$ de $6$ .

$\frac{3}{6^{2}}$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3}{36}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ y $36$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{36}$

Paso 4.1.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $36$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

Paso 4.1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

Paso 4.1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{12}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{(0) - 3}{{(0)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{(0) - 3}{0}$

Paso 4.2.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(6, \frac{1}{12})$

Paso 5