Cálculo Ejemplos

$f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ y $g (x) = x - 3$ .

$(x - 1) (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x - 1) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - 1) (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

Paso 1.1.2.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x - 1) (x - 2) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x - 1) (x - 2) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

Paso 1.1.2.4.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = x - 2$ .

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 1.1.4

Diferencia.

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Paso 1.1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 1.1.4.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) ((x - 1) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 1.1.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) ((x - 1) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 1.1.4.4.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 1.1.4.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Paso 1.1.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Paso 1.1.4.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + (x - 2) (1 + 0))$

Paso 1.1.4.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.1.4.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + (x - 2) \cdot 1)$

Paso 1.1.4.8.2

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + x - 2)$

Paso 1.1.4.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (2 x - 1 - 2)$

Paso 1.1.4.8.4

Resta $2$ de $- 1$ .

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (2 x - 3)$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 1) x + (x - 1) \cdot - 2 + (x - 3) (2 x - 3)$

Paso 1.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x - 1 x + (x - 1) \cdot - 2 + (x - 3) (2 x - 3)$

Paso 1.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + (x - 3) (2 x - 3)$

Paso 1.1.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 3$

Paso 1.1.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 3$

Paso 1.1.5.6

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.7

Combina los términos.

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Paso 1.1.5.7.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.7.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{1} - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 1} - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.7.4

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.7.5

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.7.6

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - x - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.7.7

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$x^{2} - x - 2 x + 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.7.8

Resta $2 x$ de $- x$ .

$x^{2} - 3 x + 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.7.9

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 (x^{1} x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.7.10

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 (x^{1} x^{1}) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.7.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.7.12

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.7.13

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.7.14

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{2} - 6 x - 3 \cdot x - 3 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.7.15

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{2} - 6 x - 3 x + 9$

Paso 1.1.5.7.16

Resta $3 x$ de $- 6 x$ .

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{2} - 9 x + 9$

Paso 1.1.5.7.17

Suma $x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 3 x + 2 - 9 x + 9$

Paso 1.1.5.7.18

Resta $9 x$ de $- 3 x$ .

$3 x^{2} - 12 x + 2 + 9$

Paso 1.1.5.7.19

Suma $2$ y $9$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 11$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 12 x + 11$ .

$3 x^{2} - 12 x + 11$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 12 x + 11 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 11 = 0$

Paso 2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.3

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 12$ y $c = 11$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 11)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 11$ .

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Paso 2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $11$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.1.3

Resta $132$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.4.3

Simplifica $\frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 11$ .

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Paso 2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.5.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $11$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.5.1.3

Resta $132$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.5.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.5.3

Simplifica $\frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 11$ .

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Paso 2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $11$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.3

Resta $132$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.6.3

Simplifica $\frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $(x - 1) (x - 2) (x - 3)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ por $x$ .

$((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 1) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$(\frac{6 + \sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.2

Combina fracciones.

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Paso 4.1.2.2.1

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$(\frac{6 + \sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 + \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{6 + \sqrt{3} - 3}{3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.3.2

Resta $3$ de $6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.4

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} (\frac{6 + \sqrt{3}}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.5

Combina fracciones.

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Paso 4.1.2.5.1

Combina $- 2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} (\frac{6 + \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}) ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{6 + \sqrt{3} - 2 \cdot 3}{3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{6 + \sqrt{3} - 6}{3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.6.2

Resta $6$ de $6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{0 + \sqrt{3}}{3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.6.3

Suma $0$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Multiplica $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{(3 + \sqrt{3}) \sqrt{3}}{3 \cdot 3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.7.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{(3 + \sqrt{3}) \sqrt{3}}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.8

Simplifica los términos.

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Paso 4.1.2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.8.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.9

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.9.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.9.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.9.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.10

Cancela el factor común de $3 \sqrt{3} + 3$ y $9$ .

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Paso 4.1.2.10.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.10.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.10.3

Factoriza $3$ de $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{9} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.10.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.10.4.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (3)} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.10.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.10.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{3} ((\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.1.2.11

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{3} (\frac{6 + \sqrt{3}}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})$

Paso 4.1.2.12

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.12.1

Combina $- 3$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{3} (\frac{6 + \sqrt{3}}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})$

Paso 4.1.2.12.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{3} \cdot \frac{6 + \sqrt{3} - 3 \cdot 3}{3}$

Paso 4.1.2.13

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.13.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{3} \cdot \frac{6 + \sqrt{3} - 9}{3}$

Paso 4.1.2.13.2

Resta $9$ de $6$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{3} \cdot \frac{- 3 + \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.1.2.14

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 1}{3} \cdot \frac{- 3 + \sqrt{3}}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.14.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 1}{3}$ por $\frac{- 3 + \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (- 3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Paso 4.1.2.14.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (- 3 + \sqrt{3})}{9}$

Paso 4.1.2.15

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.15.1

Expande $(\sqrt{3} + 1) (- 3 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.15.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} (- 3 + \sqrt{3}) + 1 (- 3 + \sqrt{3})}{9}$

Paso 4.1.2.15.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3} + 1 (- 3 + \sqrt{3})}{9}$

Paso 4.1.2.15.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3} + 1 \cdot - 3 + 1 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.1.2.15.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.15.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.15.2.1.1

Mueve $- 3$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3} + 1 \cdot - 3 + 1 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.1.2.15.2.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{- 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3} + 1 \cdot - 3 + 1 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.1.2.15.2.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3} + \sqrt{9} + 1 \cdot - 3 + 1 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.1.2.15.2.1.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}} + 1 \cdot - 3 + 1 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.1.2.15.2.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{- 3 \sqrt{3} + 3 + 1 \cdot - 3 + 1 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.1.2.15.2.1.6

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3 + 1 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.1.2.15.2.1.7

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3 + \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.1.2.15.2.2

Suma $- 3 \sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 - 3 - 2 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.1.2.15.2.3

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0 - 2 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.1.2.15.2.4

Resta $2 \sqrt{3}$ de $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.1.2.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Sustituye $\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ por $x$ .

$((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 1) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$(\frac{6 - \sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.1

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$(\frac{6 - \sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 - \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{6 - \sqrt{3} - 3}{3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.3.2

Resta $3$ de $6$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 2) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.4

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (\frac{6 - \sqrt{3}}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.5

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.5.1

Combina $- 2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (\frac{6 - \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{6 - \sqrt{3} - 2 \cdot 3}{3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.6.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{6 - \sqrt{3} - 6}{3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.6.2

Resta $6$ de $6$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{0 - \sqrt{3}}{3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.6.3

Resta $\sqrt{3}$ de $0$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- \sqrt{3}}{3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3}) ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.8

Multiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.8.1

Multiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) \sqrt{3}}{3 \cdot 3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.8.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) \sqrt{3}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.9

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.10

Multiplica $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.10.1

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.10.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.10.4

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.11

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.11.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.11.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.11.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.11.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.11.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.11.1.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.11.1.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{3 \sqrt{3} - 3^{1}}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.11.1.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{3 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.11.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{3 \sqrt{3} - 3}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.12

Cancela el factor común de $3 \sqrt{3} - 3$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.12.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{3 (\sqrt{3}) - 3}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.12.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$- \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (- 1)}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.12.3

Factoriza $3$ de $3 (\sqrt{3}) + 3 (- 1)$ .

$- \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{9} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.12.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.12.4.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$- \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{3 (3)} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.12.4.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{3 \cdot 3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.12.4.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{3} ((\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 3)$

Paso 4.2.2.13

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{3} (\frac{6 - \sqrt{3}}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})$

Paso 4.2.2.14

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.14.1

Combina $- 3$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{3} (\frac{6 - \sqrt{3}}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})$

Paso 4.2.2.14.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{3} \cdot \frac{6 - \sqrt{3} - 3 \cdot 3}{3}$

Paso 4.2.2.15

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.15.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{3} \cdot \frac{6 - \sqrt{3} - 9}{3}$

Paso 4.2.2.15.2

Resta $9$ de $6$ .

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{3} \cdot \frac{- 3 - \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.2.16

Multiplica $- \frac{\sqrt{3} - 1}{3} \cdot \frac{- 3 - \sqrt{3}}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.16.1

Multiplica $\frac{- 3 - \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{\sqrt{3} - 1}{3}$ .

$- \frac{(- 3 - \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 1)}{3 \cdot 3}$

Paso 4.2.2.16.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{(- 3 - \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 1)}{9}$

Paso 4.2.2.17

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.17.1

Expande $(- 3 - \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.17.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{- 3 (\sqrt{3} - 1) - \sqrt{3} (\sqrt{3} - 1)}{9}$

Paso 4.2.2.17.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{- 3 \sqrt{3} - 3 \cdot - 1 - \sqrt{3} (\sqrt{3} - 1)}{9}$

Paso 4.2.2.17.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{- 3 \sqrt{3} - 3 \cdot - 1 - \sqrt{3} \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

Paso 4.2.2.17.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.17.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.17.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

Paso 4.2.2.17.2.1.2

Multiplica $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.17.2.1.2.1

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

Paso 4.2.2.17.2.1.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

Paso 4.2.2.17.2.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - {\sqrt{3}}^{1 + 1} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

Paso 4.2.2.17.2.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - {\sqrt{3}}^{2} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

Paso 4.2.2.17.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.17.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

Paso 4.2.2.17.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

Paso 4.2.2.17.2.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

Paso 4.2.2.17.2.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.17.2.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

Paso 4.2.2.17.2.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3^{1} - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

Paso 4.2.2.17.2.1.3.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 1 \cdot 3 - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

Paso 4.2.2.17.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3 - \sqrt{3} \cdot - 1}{9}$

Paso 4.2.2.17.2.1.5

Multiplica $- \sqrt{3} \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.17.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3 + 1 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.2.2.17.2.1.5.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$- \frac{- 3 \sqrt{3} + 3 - 3 + \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.2.2.17.2.2

Suma $- 3 \sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$- \frac{3 - 3 - 2 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.2.2.17.2.3

Resta $3$ de $3$ .

$- \frac{0 - 2 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.2.2.17.2.4

Resta $2 \sqrt{3}$ de $0$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.2.2.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.2.2.19

Multiplica $- - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.19.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.2.2.19.2

Multiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ por $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{6 + \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{9}), (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{9})$

Paso 5