Cálculo Ejemplos

$\cos (2 x) - x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (2 x) - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \sin (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x) - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 \sin (2 x) - 1$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 1 - 2 \sin (2 x)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 1 - 2 \sin (2 x)$ .

$- 1 - 2 \sin (2 x)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 1 - 2 \sin (2 x) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 1 - 2 \sin (2 x) = 0$

Paso 2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (2 x) = 1$

Paso 2.3

Divide cada término en $- 2 \sin (2 x) = 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $- 2 \sin (2 x) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{- 2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Paso 2.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Paso 2.6

Divide cada término en $2 x = - \frac{π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.6.1

Divide cada término en $2 x = - \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Paso 2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Paso 2.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Paso 2.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.6.3.2

Multiplica $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.6.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Paso 2.6.3.2.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Paso 2.7

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Paso 2.8

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 2.8.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Paso 2.8.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Paso 2.8.3

Divide cada término en $2 x = \frac{7 π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.8.3.1

Divide cada término en $2 x = \frac{7 π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Paso 2.8.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.8.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.8.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Paso 2.8.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Paso 2.8.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.8.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.8.3.3.2

Multiplica $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.8.3.3.2.1

Multiplica $\frac{7 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Paso 2.8.3.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Paso 2.9

Obtén el período de $\sin (2 x)$ .

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Paso 2.9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.9.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 2.9.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 2.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.9.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 2.9.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.10

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 2.10.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{12}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{12} + π$

Paso 2.10.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Paso 2.10.3

Combina fracciones.

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Paso 2.10.3.1

Combina $π$ y $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Paso 2.10.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Paso 2.10.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.4.1

Mueve $12$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Paso 2.10.4.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Paso 2.10.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{12}$

Paso 2.11

El período de la función $\sin (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\cos (2 x) - x$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{7 π}{12}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{7 π}{12}$ por $x$ .

$\cos (2 (\frac{7 π}{12})) - (\frac{7 π}{12})$

Paso 4.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\cos (2 \frac{7 π}{2 (6)}) - (\frac{7 π}{12})$

Paso 4.1.2.1.2

Cancela el factor común.

$\cos (2 \frac{7 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{7 π}{12})$

Paso 4.1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{7 π}{6}) - (\frac{7 π}{12})$

Paso 4.1.2.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$- \cos (\frac{π}{6}) - (\frac{7 π}{12})$

Paso 4.1.2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7 π}{12}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = \frac{19 π}{12}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $\frac{19 π}{12}$ por $x$ .

$\cos (2 (\frac{19 π}{12})) - (\frac{19 π}{12})$

Paso 4.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\cos (2 \frac{19 π}{2 (6)}) - (\frac{19 π}{12})$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\cos (2 \frac{19 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{19 π}{12})$

Paso 4.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{19 π}{6}) - (\frac{19 π}{12})$

Paso 4.2.2.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (\frac{7 π}{6}) - (\frac{19 π}{12})$

Paso 4.2.2.3

$- \cos (\frac{π}{6}) - (\frac{19 π}{12})$

Paso 4.2.2.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{19 π}{12}$

Paso 4.3

Evalúa en $x = \frac{31 π}{12}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $\frac{31 π}{12}$ por $x$ .

$\cos (2 (\frac{31 π}{12})) - (\frac{31 π}{12})$

Paso 4.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\cos (2 \frac{31 π}{2 (6)}) - (\frac{31 π}{12})$

Paso 4.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\cos (2 \frac{31 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{31 π}{12})$

Paso 4.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{31 π}{6}) - (\frac{31 π}{12})$

Paso 4.3.2.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (\frac{7 π}{6}) - (\frac{31 π}{12})$

Paso 4.3.2.3

$- \cos (\frac{π}{6}) - (\frac{31 π}{12})$

Paso 4.3.2.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{31 π}{12}$

Paso 4.4

Evalúa en $x = \frac{43 π}{12}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye $\frac{43 π}{12}$ por $x$ .

$\cos (2 (\frac{43 π}{12})) - (\frac{43 π}{12})$

Paso 4.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\cos (2 \frac{43 π}{2 (6)}) - (\frac{43 π}{12})$

Paso 4.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\cos (2 \frac{43 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{43 π}{12})$

Paso 4.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{43 π}{6}) - (\frac{43 π}{12})$

Paso 4.4.2.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (\frac{7 π}{6}) - (\frac{43 π}{12})$

Paso 4.4.2.3

$- \cos (\frac{π}{6}) - (\frac{43 π}{12})$

Paso 4.4.2.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{43 π}{12}$

Paso 4.5

Evalúa en $x = \frac{55 π}{12}$ .

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Paso 4.5.1

Sustituye $\frac{55 π}{12}$ por $x$ .

$\cos (2 (\frac{55 π}{12})) - (\frac{55 π}{12})$

Paso 4.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\cos (2 \frac{55 π}{2 (6)}) - (\frac{55 π}{12})$

Paso 4.5.2.1.2

Cancela el factor común.

$\cos (2 \frac{55 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{55 π}{12})$

Paso 4.5.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{55 π}{6}) - (\frac{55 π}{12})$

Paso 4.5.2.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (\frac{7 π}{6}) - (\frac{55 π}{12})$

Paso 4.5.2.3

$- \cos (\frac{π}{6}) - (\frac{55 π}{12})$

Paso 4.5.2.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{55 π}{12}$

Paso 4.6

Evalúa en $x = \frac{11 π}{12}$ .

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Paso 4.6.1

Sustituye $\frac{11 π}{12}$ por $x$ .

$\cos (2 (\frac{11 π}{12})) - (\frac{11 π}{12})$

Paso 4.6.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\cos (2 \frac{11 π}{2 (6)}) - (\frac{11 π}{12})$

Paso 4.6.2.1.2

Cancela el factor común.

$\cos (2 \frac{11 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{11 π}{12})$

Paso 4.6.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{11 π}{6}) - (\frac{11 π}{12})$

Paso 4.6.2.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\cos (\frac{π}{6}) - (\frac{11 π}{12})$

Paso 4.6.2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{11 π}{12}$

Paso 4.7

Evalúa en $x = \frac{23 π}{12}$ .

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Paso 4.7.1

Sustituye $\frac{23 π}{12}$ por $x$ .

$\cos (2 (\frac{23 π}{12})) - (\frac{23 π}{12})$

Paso 4.7.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.7.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.7.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\cos (2 \frac{23 π}{2 (6)}) - (\frac{23 π}{12})$

Paso 4.7.2.1.2

Cancela el factor común.

$\cos (2 \frac{23 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{23 π}{12})$

Paso 4.7.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{23 π}{6}) - (\frac{23 π}{12})$

Paso 4.7.2.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (\frac{11 π}{6}) - (\frac{23 π}{12})$

Paso 4.7.2.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\cos (\frac{π}{6}) - (\frac{23 π}{12})$

Paso 4.7.2.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{23 π}{12}$

Paso 4.8

Evalúa en $x = \frac{35 π}{12}$ .

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Paso 4.8.1

Sustituye $\frac{35 π}{12}$ por $x$ .

$\cos (2 (\frac{35 π}{12})) - (\frac{35 π}{12})$

Paso 4.8.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.8.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.8.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\cos (2 \frac{35 π}{2 (6)}) - (\frac{35 π}{12})$

Paso 4.8.2.1.2

Cancela el factor común.

$\cos (2 \frac{35 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{35 π}{12})$

Paso 4.8.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{35 π}{6}) - (\frac{35 π}{12})$

Paso 4.8.2.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (\frac{11 π}{6}) - (\frac{35 π}{12})$

Paso 4.8.2.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\cos (\frac{π}{6}) - (\frac{35 π}{12})$

Paso 4.8.2.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{35 π}{12}$

Paso 4.9

Evalúa en $x = \frac{47 π}{12}$ .

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Paso 4.9.1

Sustituye $\frac{47 π}{12}$ por $x$ .

$\cos (2 (\frac{47 π}{12})) - (\frac{47 π}{12})$

Paso 4.9.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.9.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.9.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\cos (2 \frac{47 π}{2 (6)}) - (\frac{47 π}{12})$

Paso 4.9.2.1.2

Cancela el factor común.

$\cos (2 \frac{47 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{47 π}{12})$

Paso 4.9.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{47 π}{6}) - (\frac{47 π}{12})$

Paso 4.9.2.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (\frac{11 π}{6}) - (\frac{47 π}{12})$

Paso 4.9.2.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\cos (\frac{π}{6}) - (\frac{47 π}{12})$

Paso 4.9.2.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{47 π}{12}$

Paso 4.10

Evalúa en $x = \frac{59 π}{12}$ .

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Paso 4.10.1

Sustituye $\frac{59 π}{12}$ por $x$ .

$\cos (2 (\frac{59 π}{12})) - (\frac{59 π}{12})$

Paso 4.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.10.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.10.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\cos (2 \frac{59 π}{2 (6)}) - (\frac{59 π}{12})$

Paso 4.10.2.1.2

Cancela el factor común.

$\cos (2 \frac{59 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{59 π}{12})$

Paso 4.10.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{59 π}{6}) - (\frac{59 π}{12})$

Paso 4.10.2.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (\frac{11 π}{6}) - (\frac{59 π}{12})$

Paso 4.10.2.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\cos (\frac{π}{6}) - (\frac{59 π}{12})$

Paso 4.10.2.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{59 π}{12}$

Paso 4.11

Enumera todos los puntos.

$(\frac{7 π}{12}, - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7 π}{12}), (\frac{19 π}{12}, - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{19 π}{12}), (\frac{31 π}{12}, - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{31 π}{12}), (\frac{43 π}{12}, - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{43 π}{12}), (\frac{55 π}{12}, - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{55 π}{12}), (\frac{11 π}{12}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{11 π}{12}), (\frac{23 π}{12}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{23 π}{12}), (\frac{35 π}{12}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{35 π}{12}), (\frac{47 π}{12}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{47 π}{12}), (\frac{59 π}{12}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{59 π}{12})$

Paso 5