Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 9}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2} - 9}$ como ${(x^{2} - 9)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{- 1}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 9$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Paso 1.1.3.3

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + 0)$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x)$

Paso 1.1.3.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} - 9)}^{- 2} x$

Paso 1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}} x$

Paso 1.1.5

Combina los términos.

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Paso 1.1.5.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} - 9)}^{2}} x$

Paso 1.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(x^{2} - 9)}^{2}} x$

Paso 1.1.5.3

Combina $x$ y $\frac{2}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.5.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

${(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

Paso 3.2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

${((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Paso 3.2.1.3

Aplica la regla del producto a $(x + 3) (x - 3)$ .

${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 3.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 3.2.3

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.3.1

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 3.2.3.2

Resuelve ${(x + 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.3.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.2.3.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.2.4

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.4.1

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 3.2.4.2

Resuelve ${(x - 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.4.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.2.4.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 3, 3$

Paso 3.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Paso 4

Evalúa $\frac{1}{x^{2} - 9}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{1}{{(0)}^{2} - 9}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{0 - 9}$

Paso 4.1.2.1.2

Resta $9$ de $0$ .

$\frac{1}{- 9}$

Paso 4.1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{9}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 3$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 3$ por $x$ .

$\frac{1}{{(- 3)}^{2} - 9}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{9 - 9}$

Paso 4.2.2.2

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{1}{0}$

Paso 4.2.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Evalúa en $x = 3$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$\frac{1}{{(3)}^{2} - 9}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{9 - 9}$

Paso 4.3.2.2

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{1}{0}$

Paso 4.3.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, - \frac{1}{9})$

Paso 5