Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$ como ${(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 1}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} - 2 x + 8$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 2 x + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 2 x + 8$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 1.1.3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 1.1.3.6

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Paso 1.1.3.7

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2)$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} (2 x - 2)$

Paso 1.1.4.2

Reordena los factores de $- \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$- (2 x - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (2 x) - - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.4.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.4.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$(- 2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.4.6

Multiplica $- 2 x + 2$ por $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x + 2}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.4.7

Factoriza $2$ de $- 2 x + 2$ .

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Paso 1.1.4.7.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 2}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.4.7.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.4.7.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.4.8

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.4.9

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.4.10

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.4.11

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 (x - 1) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 (x - 1) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Divide cada término en $2 (x - 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.1.2.1.2

Divide $x - 1$ por $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 8}$

Paso 4.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{1 - 2 \cdot 1 + 8}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{1 - 2 + 8}$

Paso 4.1.2.3

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{- 1 + 8}$

Paso 4.1.2.4

Suma $- 1$ y $8$ .

$\frac{1}{7}$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(1, \frac{1}{7})$

Paso 5