Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x + 3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Reescribe $\frac{1}{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 1}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 1.1.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} (1 + 0)$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} \cdot 1$

Paso 1.1.3.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- {(x + 3)}^{- 2}$

Paso 1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 4

Evalúa $\frac{1}{x + 3}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - 3$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 3$ por $x$ .

$\frac{1}{(- 3) + 3}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$\frac{1}{0}$

Paso 4.1.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 5

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos