Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 9 x + 3$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - 9 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$x^{2} - 9 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} - 9 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $x^{2} - 9$ y $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 9$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} - 9$ .

$x^{2} - 9$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{2} - 9 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Paso 2.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 9$

Paso 2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Paso 2.4

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Paso 2.4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Paso 2.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} - 9 x + 3$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 3$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(3)}^{3} - 9 \cdot 3 + 3$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.2.1.1.1

Factoriza $3$ de ${(3)}^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 9 \cdot 3 + 3$

Paso 4.1.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 9 \cdot 3 + 3$

Paso 4.1.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$3^{2} - 9 \cdot 3 + 3$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$9 - 9 \cdot 3 + 3$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$9 - 27 + 3$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.2.1

Resta $27$ de $9$ .

$- 18 + 3$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $- 18$ y $3$ .

$- 15$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 3$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 3$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - 9 \cdot - 3 + 3$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 27 - 9 \cdot - 3 + 3$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 27$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 (- 9)) - 9 \cdot - 3 + 3$

Paso 4.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 9) - 9 \cdot - 3 + 3$

Paso 4.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- 9 - 9 \cdot - 3 + 3$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $- 9$ por $- 3$ .

$- 9 + 27 + 3$

Paso 4.2.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.2.2.2.1

Suma $- 9$ y $27$ .

$18 + 3$

Paso 4.2.2.2.2

Suma $18$ y $3$ .

$21$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(3, - 15), (- 3, 21)$

Paso 5