Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 5}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 9$ y $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 5) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x - 5) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2} + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Factoriza $x^{2} - 10 x + 9$ con el método AC.

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Paso 1.1.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $9$ y cuya suma es $- 10$ .

$- 9, - 1$

Paso 1.1.3.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f' (x) = \frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$(x - 9) (x - 1) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 2.3.2.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 2.3.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 9) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 9, 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 5)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 3.2.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 4

Evalúa $\frac{x^{2} - 9}{x - 5}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 9$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $9$ por $x$ .

$\frac{{(9)}^{2} - 9}{(9) - 5}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\frac{81 - 9}{9 - 5}$

Paso 4.1.2.1.2

Resta $9$ de $81$ .

$\frac{72}{9 - 5}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.2.1

Resta $5$ de $9$ .

$\frac{72}{4}$

Paso 4.1.2.2.2

Divide $72$ por $4$ .

$18$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{{(1)}^{2} - 9}{(1) - 5}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - 9}{1 - 5}$

Paso 4.2.2.1.2

Resta $9$ de $1$ .

$\frac{- 8}{1 - 5}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.2.1

Resta $5$ de $1$ .

$\frac{- 8}{- 4}$

Paso 4.2.2.2.2

Divide $- 8$ por $- 4$ .

$2$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 5$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $5$ por $x$ .

$\frac{{(5)}^{2} - 9}{(5) - 5}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Resta $5$ de $5$ .

$\frac{{(5)}^{2} - 9}{0}$

Paso 4.3.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(9, 18), (1, 2)$

Paso 5