Cálculo Ejemplos

$f (x) = | 25 x^{2} - 4 |$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = 25 x^{2} - 4$ .

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Paso 1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $25 x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Paso 1.1.1.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Paso 1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $25 x^{2} - 4$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $25 x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.1.2.2

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25 x^{2}$ con respecto a $x$ es $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $2$ por $25$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.1.2.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + 0)$

Paso 1.1.2.6

Combina fracciones.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $50 x$ y $0$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x)$

Paso 1.1.2.6.2

Combina $50$ y $\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |} x$

Paso 1.1.2.6.3

Combina $\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |}$ y $x$ .

$\frac{50 (25 x^{2} - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(50 (25 x^{2}) + 50 \cdot - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{50 (25 x^{2}) x + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{50 (25 (x \cdot x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{50 (25 (x^{1} x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Paso 1.1.3.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{50 (25 x^{1 + 2}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{50 (25 x^{3}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Paso 1.1.3.3.2

Multiplica $25$ por $50$ .

$\frac{1250 x^{3} + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Paso 1.1.3.3.3

Multiplica $50$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1250 x^{3} - 200 x = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $50 x$ de $1250 x^{3} - 200 x$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $50 x$ de $1250 x^{3}$ .

$50 x (25 x^{2}) - 200 x = 0$

Paso 2.3.1.1.2

Factoriza $50 x$ de $- 200 x$ .

$50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4) = 0$

Paso 2.3.1.1.3

Factoriza $50 x$ de $50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4)$ .

$50 x (25 x^{2} - 4) = 0$

Paso 2.3.1.2

Reescribe $25 x^{2}$ como ${(5 x)}^{2}$ .

$50 x ({(5 x)}^{2} - 4) = 0$

Paso 2.3.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$50 x ({(5 x)}^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 2.3.1.4

Factoriza.

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Paso 2.3.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5 x$ y $b = 2$ .

$50 x ((5 x + 2) (5 x - 2)) = 0$

Paso 2.3.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$

Paso 2.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$5 x + 2 = 0$

$5 x - 2 = 0$

Paso 2.3.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.3.4

Establece $5 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.4.1

Establece $5 x + 2$ igual a $0$ .

$5 x + 2 = 0$

Paso 2.3.4.2

Resuelve $5 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x = - 2$

Paso 2.3.4.2.2

Divide cada término en $5 x = - 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.3.4.2.2.1

Divide cada término en $5 x = - 2$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Paso 2.3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.3.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Paso 2.3.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Paso 2.3.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{5}$

Paso 2.3.5

Establece $5 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.5.1

Establece $5 x - 2$ igual a $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Paso 2.3.5.2

Resuelve $5 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 2$

Paso 2.3.5.2.2

Divide cada término en $5 x = 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.3.5.2.2.1

Divide cada término en $5 x = 2$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 2.3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 2.3.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Paso 2.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{2}{5}, \frac{2}{5}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| 25 x^{2} - 4 | = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$25 x^{2} - 4 = \pm 0$

Paso 3.2.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$25 x^{2} - 4 = 0$

Paso 3.2.3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$25 x^{2} = 4$

Paso 3.2.4

Divide cada término en $25 x^{2} = 4$ por $25$ y simplifica.

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Paso 3.2.4.1

Divide cada término en $25 x^{2} = 4$ por $25$ .

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

Paso 3.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.2.1

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

Paso 3.2.4.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{25}$

Paso 3.2.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}}$

Paso 3.2.6

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{25}}$ .

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Paso 3.2.6.1

Reescribe $\sqrt{\frac{4}{25}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$

Paso 3.2.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{25}}$

Paso 3.2.6.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{25}}$

Paso 3.2.6.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.6.3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5^{2}}}$

Paso 3.2.6.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{2}{5}$

Paso 3.2.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{2}{5}$

Paso 3.2.7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{2}{5}$

Paso 3.2.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{2}{5}, - \frac{2}{5}$

Paso 3.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - \frac{2}{5}, x = \frac{2}{5}$

Paso 4

Evalúa $| 25 x^{2} - 4 |$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$| 25 {(0)}^{2} - 4 |$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| 25 \cdot 0 - 4 |$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $25$ por $0$ .

$| 0 - 4 |$

Paso 4.1.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$| - 4 |$

Paso 4.1.2.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 4$ y $0$ es $4$ .

$4$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - \frac{2}{5}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- \frac{2}{5}$ por $x$ .

$| 25 {(- \frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{5}$ .

$| 25 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}) - 4 |$

Paso 4.2.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{5}$ .

$| 25 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

Paso 4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| 25 (1 \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $\frac{2^{2}}{5^{2}}$ por $1$ .

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

Paso 4.2.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

Paso 4.2.2.1.5

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Paso 4.2.2.1.6

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 4.2.2.1.6.1

Cancela el factor común.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Paso 4.2.2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$| 4 - 4 |$

Paso 4.2.2.2

Resta $4$ de $4$ .

$| 0 |$

Paso 4.2.2.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$0$

Paso 4.3

Evalúa en $x = \frac{2}{5}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $\frac{2}{5}$ por $x$ .

$| 25 {(\frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{5}$ .

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

Paso 4.3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

Paso 4.3.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Paso 4.3.2.1.4

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 4.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Paso 4.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$| 4 - 4 |$

Paso 4.3.2.2

Resta $4$ de $4$ .

$| 0 |$

Paso 4.3.2.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$0$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 4), (- \frac{2}{5}, 0), (\frac{2}{5}, 0)$

Paso 5