Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x + 2$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.2.5

Combina $\frac{6}{3}$ y $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.2.6

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Factoriza $3$ de $6 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.2.6.2.4

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 4 + 0$

Paso 1.1.5.2

Suma $2 x^{2} - 2 x - 4$ y $0$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 4$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x^{2} - 2 x - 4$ .

$2 x^{2} - 2 x - 4$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x^{2} - 2 x - 4 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 2 x - 4$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 2 x - 4 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- x) - 4 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 2) = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$2 (x^{2} - x) + 2 (- 2) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)$ .

$2 (x^{2} - x - 2) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - x - 2$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x - 2) (x + 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x - 2) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x + 2$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2)}^{3} - {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 2$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 2$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot 8$ .

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Paso 4.1.2.1.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 2$

Paso 4.1.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{16}{3} - {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 2$

Paso 4.1.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16}{3} - 1 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 2$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{16}{3} - 4 - 4 \cdot 2 + 2$

Paso 4.1.2.1.5

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{16}{3} - 4 - 8 + 2$

Paso 4.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.1.2.2.1

Escribe $- 4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4}{1} - 8 + 2$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} - 8 + 2$

Paso 4.1.2.2.3

Multiplica $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} - 8 + 2$

Paso 4.1.2.2.4

Escribe $- 8$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} + 2$

Paso 4.1.2.2.5

Multiplica $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 2$

Paso 4.1.2.2.6

Multiplica $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 2$

Paso 4.1.2.2.7

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1}$

Paso 4.1.2.2.8

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.1.2.2.9

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Paso 4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{16 - 4 \cdot 3 - 8 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\frac{16 - 12 - 8 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$\frac{16 - 12 - 24 + 2 \cdot 3}{3}$

Paso 4.1.2.4.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{16 - 12 - 24 + 6}{3}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.5.1

Resta $12$ de $16$ .

$\frac{4 - 24 + 6}{3}$

Paso 4.1.2.5.2

Resta $24$ de $4$ .

$\frac{- 20 + 6}{3}$

Paso 4.1.2.5.3

Suma $- 20$ y $6$ .

$\frac{- 14}{3}$

Paso 4.1.2.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{14}{3}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 + 2$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot - 1 - {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 + 2$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 4.2.2.1.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{3} - {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 + 2$

Paso 4.2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{3} - {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 + 2$

Paso 4.2.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3} - {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 + 2$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2}{3} + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 + 2$

Paso 4.2.2.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2}{3} + {(- 1)}^{1 + 2} - 4 \cdot - 1 + 2$

Paso 4.2.2.1.4.2

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{2}{3} + {(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1 + 2$

Paso 4.2.2.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{2}{3} - 1 - 4 \cdot - 1 + 2$

Paso 4.2.2.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$- \frac{2}{3} - 1 + 4 + 2$

Paso 4.2.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.2.2.2.1

Escribe $- 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1}{1} + 4 + 2$

Paso 4.2.2.2.2

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4 + 2$

Paso 4.2.2.2.3

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + 4 + 2$

Paso 4.2.2.2.4

Escribe $4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} + 2$

Paso 4.2.2.2.5

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 2$

Paso 4.2.2.2.6

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 2$

Paso 4.2.2.2.7

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1}$

Paso 4.2.2.2.8

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.2.2.2.9

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Paso 4.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 - 1 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

Paso 4.2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 2 - 3 + 4 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

Paso 4.2.2.4.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{- 2 - 3 + 12 + 2 \cdot 3}{3}$

Paso 4.2.2.4.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{- 2 - 3 + 12 + 6}{3}$

Paso 4.2.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.5.1

Resta $3$ de $- 2$ .

$\frac{- 5 + 12 + 6}{3}$

Paso 4.2.2.5.2

Suma $- 5$ y $12$ .

$\frac{7 + 6}{3}$

Paso 4.2.2.5.3

Suma $7$ y $6$ .

$\frac{13}{3}$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(2, - \frac{14}{3}), (- 1, \frac{13}{3})$

Paso 5