Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{16}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1.1

Como $\frac{16}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{16}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 1.1.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [{({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Paso 1.1.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Paso 1.1.1.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Paso 1.1.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ y $g (x) = x - 6$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 6$ .

$\frac{16}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6])$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{3}$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 6$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Paso 1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Paso 1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Paso 1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Paso 1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Paso 1.1.6.2

Resta $3$ de $- 1$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Paso 1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Paso 1.1.7.2

Combina ${(x - 6)}^{- \frac{4}{3}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{{(x - 6)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Paso 1.1.7.3

Mueve ${(x - 6)}^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Paso 1.1.7.4

Multiplica $\frac{16}{3}$ por $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{16}{3 (3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Paso 1.1.7.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Paso 1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Paso 1.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Paso 1.1.10

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Paso 1.1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Paso 1.1.11.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$16 = 0$

Paso 2.3

Como $16 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{16}{9 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{4}}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{16}{9 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{4}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$9 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{4}} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(9 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{4}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{{(x - 6)}^{4}}$ como ${(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ .

${(9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ .

$9^{3} {({(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$729 {({(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 {(x - 6)}^{\frac{4}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$729 {(x - 6)}^{\frac{4}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$729 {(x - 6)}^{4} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$729 {(x - 6)}^{4} = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $729 {(x - 6)}^{4} = 0$ por $729$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1.1

Divide cada término en $729 {(x - 6)}^{4} = 0$ por $729$ .

$\frac{729 {(x - 6)}^{4}}{729} = \frac{0}{729}$

Paso 3.3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Cancela el factor común de $729$ .

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Paso 3.3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{729 {(x - 6)}^{4}}{729} = \frac{0}{729}$

Paso 3.3.3.1.2.1.2

Divide ${(x - 6)}^{4}$ por $1$ .

${(x - 6)}^{4} = \frac{0}{729}$

Paso 3.3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1.3.1

Divide $0$ por $729$ .

${(x - 6)}^{4} = 0$

Paso 3.3.3.2

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 3.3.3.3

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 4

Evalúa $\frac{16}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 6$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $6$ por $x$ .

$\frac{16}{3 {((6) - 6)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.1.1

Resta $6$ de $6$ .

$\frac{16}{3 \cdot 0^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.1.2.1.2

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{16}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.1.2.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{16}{3 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 4.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{16}{3 \cdot 0^{1}}$

Paso 4.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.3.1

Evalúa el exponente.

$\frac{16}{3 \cdot 0}$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{16}{0}$

Paso 4.1.2.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{16}{0}$

Paso 4.1.2.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 5

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos