Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.5.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.6

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

Paso 1.1.6.2

Suma $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ y $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Factoriza $12$ de $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Factoriza $12$ de $12 x^{3}$ .

$12 (x^{3}) - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $12$ de $- 12 x^{2}$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) - 12 x + 12 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $12$ de $- 12 x$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) + 12 (- x) + 12 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $12$ de $12$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) + 12 (- x) + 12 (1) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $12$ de $12 (x^{3}) + 12 (- x^{2})$ .

$12 (x^{3} - x^{2}) + 12 (- x) + 12 (1) = 0$

Paso 2.2.1.6

Factoriza $12$ de $12 (x^{3} - x^{2}) + 12 (- x)$ .

$12 (x^{3} - x^{2} - x) + 12 (1) = 0$

Paso 2.2.1.7

Factoriza $12$ de $12 (x^{3} - x^{2} - x) + 12 (1)$ .

$12 (x^{3} - x^{2} - x + 1) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$12 ((x^{3} - x^{2}) - x + 1) = 0$

Paso 2.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$12 (x^{2} (x - 1) - (x - 1)) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$12 ((x - 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Paso 2.2.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$12 ((x - 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Paso 2.2.5

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$12 ((x - 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Paso 2.2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$12 ((x - 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 2.2.6

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.6.1

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.6.1.1

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$12 ((x - 1) (x - 1) (x + 1)) = 0$

Paso 2.2.6.1.2

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$12 ((x - 1) (x - 1) (x + 1)) = 0$

Paso 2.2.6.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$12 ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)) = 0$

Paso 2.2.6.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$12 ({(x - 1)}^{2} (x + 1)) = 0$

Paso 2.2.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$12 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 2.4

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve ${(x - 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa en $x = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$3 {(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Paso 4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 \cdot 1 - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Paso 4.1.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 - 4 \cdot 1 - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$3 - 4 - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Paso 4.1.2.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 - 4 - 6 \cdot 1 + 12 (1) + 1$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$3 - 4 - 6 + 12 (1) + 1$

Paso 4.1.2.1.7

Multiplica $12$ por $1$ .

$3 - 4 - 6 + 12 + 1$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.2.1

Resta $4$ de $3$ .

$- 1 - 6 + 12 + 1$

Paso 4.1.2.2.2

Resta $6$ de $- 1$ .

$- 7 + 12 + 1$

Paso 4.1.2.2.3

Suma $- 7$ y $12$ .

$5 + 1$

Paso 4.1.2.2.4

Suma $5$ y $1$ .

$6$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$3 {(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Paso 4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$3 \cdot 1 - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Paso 4.2.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$3 - 4 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$3 + 4 - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Paso 4.2.2.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$3 + 4 - 6 \cdot 1 + 12 (- 1) + 1$

Paso 4.2.2.1.6

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$3 + 4 - 6 + 12 (- 1) + 1$

Paso 4.2.2.1.7

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$3 + 4 - 6 - 12 + 1$

Paso 4.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.1

Suma $3$ y $4$ .

$7 - 6 - 12 + 1$

Paso 4.2.2.2.2

Resta $6$ de $7$ .

$1 - 12 + 1$

Paso 4.2.2.2.3

Resta $12$ de $1$ .

$- 11 + 1$

Paso 4.2.2.2.4

Suma $- 11$ y $1$ .

$- 10$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(1, 6), (- 1, - 10)$

Paso 5