Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{\frac{5}{3}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.6.2

Resta $3$ de $5$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.7

Combina $\frac{5}{3}$ y $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.8

Combina $3$ y $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.9

Multiplica $5$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{15 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.10

Factoriza $3$ de $15 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.11.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.11.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.11.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.11.4

Divide $5 x^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 15 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $- 15 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Paso 1.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Paso 1.1.3.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 1.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Paso 1.1.3.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.1.3.9

Combina $- 15$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 15 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Paso 1.1.3.10

Multiplica $2$ por $- 15$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 30 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.1.3.11

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 30}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.3.12

Factoriza $3$ de $- 30$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.3.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.13.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Paso 1.1.3.13.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.3.13.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{\frac{1}{3}}, 1$

Paso 2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $x^{\frac{2}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.1.1

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.3.2.1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 x^{\frac{1 + 2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.3.2.1.1.4

Suma $1$ y $2$ .

$5 x^{\frac{3}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.3.2.1.1.5

Divide $3$ por $3$ .

$5 x^{1} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.3.2.1.2

Simplifica $5 x^{1}$ .

$5 x - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.3.2.1.3

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$ al numerador.

$5 x + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.3.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$5 x + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.3.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$5 x - 10 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x - 10 = 0$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 10$

Paso 2.4.2

Divide cada término en $5 x = 10$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.1

Divide cada término en $5 x = 10$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Paso 2.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{10}{5}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.3.1

Divide $10$ por $5$ .

$x = 2$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Paso 3.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{10}{\sqrt[3]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x = 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$3 {(2)}^{\frac{5}{3}} - 15 {(2)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.2

Elimina los paréntesis.

$3 \cdot 2^{\frac{5}{3}} - 15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$3 {(0)}^{\frac{5}{3}} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$3 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$3 \cdot 0^{5} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 \cdot 0 - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.5

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.6

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$0 - 15 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 15 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.2.2.1.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.1.8.1

Cancela el factor común.

$0 - 15 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.2.2.1.8.2

Reescribe la expresión.

$0 - 15 \cdot 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 15 \cdot 0$

Paso 4.2.2.1.10

Multiplica $- 15$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(2, 3 \cdot 2^{\frac{5}{3}} - 15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}), (0, 0)$

Paso 5