Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 4 x + 9 x^{\frac{4}{9}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 x + 9 x^{\frac{4}{9}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{\frac{4}{9}}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{9}}]$ .

$- 4 + 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{9}}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{9}$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} - 1})$

Paso 1.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}})$

Paso 1.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{9}{9}$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}})$

Paso 1.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4 - 1 \cdot 9}{9}})$

Paso 1.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4 - 9}{9}})$

Paso 1.1.3.6.2

Resta $9$ de $4$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{- 5}{9}})$

Paso 1.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{- \frac{5}{9}})$

Paso 1.1.3.8

Combina $\frac{4}{9}$ y $x^{- \frac{5}{9}}$ .

$- 4 + 9 \frac{4 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$

Paso 1.1.3.9

Combina $9$ y $\frac{4 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$ .

$- 4 + \frac{9 (4 x^{- \frac{5}{9}})}{9}$

Paso 1.1.3.10

Multiplica $4$ por $9$ .

$- 4 + \frac{36 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$

Paso 1.1.3.11

Mueve $x^{- \frac{5}{9}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 + \frac{36}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Paso 1.1.3.12

Factoriza $9$ de $36$ .

$- 4 + \frac{9 \cdot 4}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Paso 1.1.3.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.13.1

Factoriza $9$ de $9 x^{\frac{5}{9}}$ .

$- 4 + \frac{9 \cdot 4}{9 (x^{\frac{5}{9}})}$

Paso 1.1.3.13.2

Cancela el factor común.

$- 4 + \frac{9 \cdot 4}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Paso 1.1.3.13.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = - 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$ .

$- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 0$

Paso 2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 4$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{\frac{5}{9}}, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{\frac{5}{9}}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 4$ por $x^{\frac{5}{9}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 4$ por $x^{\frac{5}{9}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} x^{\frac{5}{9}} = 4 x^{\frac{5}{9}}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{5}{9}}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} x^{\frac{5}{9}} = 4 x^{\frac{5}{9}}$

Paso 2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$4 = 4 x^{\frac{5}{9}}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $4 x^{\frac{5}{9}} = 4$ .

$4 x^{\frac{5}{9}} = 4$

Paso 2.5.2

Divide cada término en $4 x^{\frac{5}{9}} = 4$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.1

Divide cada término en $4 x^{\frac{5}{9}} = 4$ por $4$ .

$\frac{4 x^{\frac{5}{9}}}{4} = \frac{4}{4}$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{\frac{5}{9}}}{4} = \frac{4}{4}$

Paso 2.5.2.2.2

Divide $x^{\frac{5}{9}}$ por $1$ .

$x^{\frac{5}{9}} = \frac{4}{4}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.3.1

Divide $4$ por $4$ .

$x^{\frac{5}{9}} = 1$

Paso 2.5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{9}{5}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

Paso 2.5.4

Simplifica el exponente.

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Paso 2.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.4.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}}$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}}$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

Paso 2.5.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

Paso 2.5.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{9} \cdot 9} = 1^{\frac{9}{5}}$

Paso 2.5.4.1.1.1.3

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{9} \cdot 9} = 1^{\frac{9}{5}}$

Paso 2.5.4.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 1^{\frac{9}{5}}$

Paso 2.5.4.1.1.2

Simplifica.

$x = 1^{\frac{9}{5}}$

Paso 2.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- 4 + \frac{4}{\sqrt[9]{x^{5}}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{4}{\sqrt[9]{x^{5}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[9]{x^{5}} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $9$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[9]{x^{5}}}^{9} = 0^{9}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[9]{x^{5}}$ como $x^{\frac{5}{9}}$ .

${(x^{\frac{5}{9}})}^{9} = 0^{9}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{5}{9}})}^{9}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{9} \cdot 9} = 0^{9}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{5}{9} \cdot 9} = 0^{9}$

Paso 3.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{5} = 0^{9}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{5} = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[5]{0}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica $\sqrt[5]{0}$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Paso 3.3.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $- 4 x + 9 x^{\frac{4}{9}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$- 4 \cdot 1 + 9 {(1)}^{\frac{4}{9}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4 + 9 {(1)}^{\frac{4}{9}}$

Paso 4.1.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 4 + 9 \cdot 1$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$- 4 + 9$

Paso 4.1.2.2

Suma $- 4$ y $9$ .

$5$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$- 4 \cdot 0 + 9 {(0)}^{\frac{4}{9}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$0 + 9 {(0)}^{\frac{4}{9}}$

Paso 4.2.2.1.2

Reescribe $0$ como $0^{9}$ .

$0 + 9 {(0^{9})}^{\frac{4}{9}}$

Paso 4.2.2.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 9 \cdot 0^{9 (\frac{4}{9})}$

Paso 4.2.2.1.4

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.2.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$0 + 9 \cdot 0^{9 (\frac{4}{9})}$

Paso 4.2.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$0 + 9 \cdot 0^{4}$

Paso 4.2.2.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 9 \cdot 0$

Paso 4.2.2.1.6

Multiplica $9$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(1, 5), (0, 0)$

Paso 5