Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x + \frac{1}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$4 - x^{- 2}$

Paso 1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.5

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 4$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{x^{2}} + 4$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$

Paso 2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 4$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ por $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Paso 2.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Paso 2.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - 4 x^{2}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $- 4 x^{2} = - 1$ .

$- 4 x^{2} = - 1$

Paso 2.5.2

Divide cada término en $- 4 x^{2} = - 1$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.1

Divide cada término en $- 4 x^{2} = - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 2.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 2.5.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Paso 2.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Paso 2.5.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 2.5.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Paso 2.5.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Paso 2.5.4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.5.4.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 2.5.4.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Paso 2.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 2.5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $4 x + \frac{1}{x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$4 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$2 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 + 1 \cdot 2$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2$

Paso 4.1.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$4$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- \frac{1}{2}$ por $x$ .

$4 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$4 (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{- 1}{2} + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$2 \cdot - 1 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2.1.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 4.2.2.1.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- 2 + \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- 2 - (1 \cdot 2)$

Paso 4.2.2.1.5

Multiplica $- (1 \cdot 2)$ .

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Paso 4.2.2.1.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 2 - 1 \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 - 2$

Paso 4.2.2.2

Resta $2$ de $- 2$ .

$- 4$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$4 (0) + \frac{1}{0}$

Paso 4.3.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(\frac{1}{2}, 4), (- \frac{1}{2}, - 4)$

Paso 5