Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.2.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.2.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.2.8

Combina $- 4$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.2.9

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\frac{- 12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.2.10

Factoriza $2$ de $- 12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.2.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.2.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.2.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.2.11.4

Divide $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $24$ por $1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $13$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $13$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ y $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$

Paso 2.2

Resta $24$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 x^{\frac{1}{2}} = - 24$

Paso 2.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Paso 2.4

Simplifica el exponente.

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Paso 2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1.1

Simplifica ${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Paso 2.4.1.1.2

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$36 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Paso 2.4.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

Paso 2.4.1.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

Paso 2.4.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$36 x^{1} = {(- 24)}^{2}$

Paso 2.4.1.1.4

Simplifica.

$36 x = {(- 24)}^{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Eleva $- 24$ a la potencia de $2$ .

$36 x = 576$

Paso 2.5

Divide cada término en $36 x = 576$ por $36$ y simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide cada término en $36 x = 576$ por $36$ .

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $36$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

Paso 2.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{576}{36}$

Paso 2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.3.1

Divide $576$ por $36$ .

$x = 16$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- 6 \sqrt{x^{1}} + 24$

Paso 3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- 6 \sqrt{x} + 24$

Paso 3.2

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 3.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Paso 4

Evalúa $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 16$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $16$ por $x$ .

$- 4 {(16)}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$- 4 {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

Paso 4.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

Paso 4.1.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

Paso 4.1.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- 4 \cdot 4^{3} + 24 (16) + 13$

Paso 4.1.2.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$- 4 \cdot 64 + 24 (16) + 13$

Paso 4.1.2.1.5

Multiplica $- 4$ por $64$ .

$- 256 + 24 (16) + 13$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $24$ por $16$ .

$- 256 + 384 + 13$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $- 256$ y $384$ .

$128 + 13$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $128$ y $13$ .

$141$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(16, 141)$

Paso 5