Cálculo Ejemplos

$y (x + 1) + x^{2} = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y (x + 1) + x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y (x + 1) + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y (x + 1)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = x + 1$ .

$y \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y (1 + 0) + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.6

Suma $1$ y $0$ .

$y \cdot 1 + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.7

Multiplica $y$ por $1$ .

$y + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y + (x + 1) y' + 2 x$

Paso 2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + x y' + 1 y' + 2 x$

Paso 2.4.2

Multiplica $y'$ por $1$ .

$y + x y' + y' + 2 x$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$x y' + 2 x + y + y'$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x y' + 2 x + y + y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + y + y' = - 2 x$

Paso 5.1.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + y' = - 2 x - y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $x y' + y'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' x + y' = - 2 x - y$

Paso 5.2.2

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' x + y' = - 2 x - y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 = - 2 x - y$

Paso 5.2.4

Factoriza $y'$ de $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) = - 2 x - y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (x + 1) = - 2 x - y$ por $x + 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (x + 1) = - 2 x - y$ por $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x}{x + 1} - \frac{y}{x + 1}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 1}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 1}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 1}$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 1}$

Paso 5.3.3.2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.5.1

Reescribe $- (2 x + y)$ como $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 1}$

Paso 5.3.3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 1}$