Cálculo Ejemplos

$\tan (x y^{2}) = e^{x^{2} + y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y^{2})) = \frac{d}{d x} (e^{x^{2} + y})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = x y^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x y^{2}$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Paso 2.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2})$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y') + \sec^{2} (x y^{2}) y^{2}$

Paso 2.8.2

Reordena los términos.

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2} + y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + y$ .

$e^{x^{2} + y} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ .

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $e^{x^{2} + y} (2 x + y')$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x) + e^{x^{2} + y} y'$

Paso 5.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = 2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$

Paso 5.2.1.2.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$ .

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = 2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y}$

Paso 5.3

Resta $y' e^{x^{2} + y}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y}$

Paso 5.4

Resta $y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Paso 5.5

Factoriza $y'$ de $2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y}$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $y'$ de $2 x y y' \sec^{2} (x y^{2})$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Paso 5.5.2

Factoriza $y'$ de $- y' e^{x^{2} + y}$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) + y' (- 1 e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Paso 5.5.3

Factoriza $y'$ de $y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) + y' (- 1 e^{x^{2} + y})$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - 1 e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Paso 5.6

Reescribe $- 1 e^{x^{2} + y}$ como $- e^{x^{2} + y}$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Paso 5.7

Divide cada término en $y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ por $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ y simplifica.

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Paso 5.7.1

Divide cada término en $y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ por $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ .

$\frac{y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} + \frac{- y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Paso 5.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.2.1

Cancela el factor común de $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ .

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Paso 5.7.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.7.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} + \frac{- y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Paso 5.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} - \frac{y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Paso 5.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$