Cálculo Ejemplos

$\ln (y + e^{2 x}) = x^{2} - 4$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\ln (y + e^{2 x})) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = y + e^{2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y + e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.5

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Paso 2.5.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} \cdot 2)$

Paso 2.5.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + 2 \cdot e^{2 x})$

Paso 2.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Reordena los factores de $\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + 2 e^{2 x})$ .

$(y' + 2 e^{2 x}) \frac{1}{y + e^{2 x}}$

Paso 2.6.2

Multiplica $y' + 2 e^{2 x}$ por $\frac{1}{y + e^{2 x}}$ .

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 3.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} = 2 x$

Paso 5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $y + e^{2 x}$ .

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} (y + e^{2 x}) = 2 x (y + e^{2 x})$

Paso 5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de $y + e^{2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} (y + e^{2 x}) = 2 x (y + e^{2 x})$

Paso 5.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' + 2 e^{2 x} = 2 x (y + e^{2 x})$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' + 2 e^{2 x} = 2 x y + 2 x e^{2 x}$

Paso 5.3

Resta $2 e^{2 x}$ de ambos lados de la ecuación.

$y' = 2 x y + 2 x e^{2 x} - 2 e^{2 x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x e^{2 x} - 2 e^{2 x}$