Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.3.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 1.1.3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 2 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 2 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.3.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.3.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.3.10

Resta $4$ de $1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.3.11

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.3.12

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3} + 0$

Paso 1.1.3.13

Suma $2 x^{- 3}$ y $0$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + 2 (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.4.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.3

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 2$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{x^{3}} + 2$ .

$\frac{2}{x^{3}} + 2$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2}{x^{3}} + 2 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} + 2 = 0$

Paso 2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{2}{x^{3}} = - 2$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{3}, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{3}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $\frac{2}{x^{3}} = - 2$ por $x^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{x^{3}} = - 2$ por $x^{3}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Paso 2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$2 = - 2 x^{3}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $- 2 x^{3} = 2$ .

$- 2 x^{3} = 2$

Paso 2.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{3} - 2 = 0$

Paso 2.5.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.5.3.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x^{3} - 2$ .

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Paso 2.5.3.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} - 2 = 0$

Paso 2.5.3.1.2

Factoriza $- 2$ de $- 2$ .

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 1 = 0$

Paso 2.5.3.1.3

Factoriza $- 2$ de $- 2 (x^{3}) - 2 (1)$ .

$- 2 (x^{3} + 1) = 0$

Paso 2.5.3.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$- 2 (x^{3} + 1^{3}) = 0$

Paso 2.5.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Paso 2.5.3.4

Factoriza.

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Paso 2.5.3.4.1

Simplifica.

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Paso 2.5.3.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

Paso 2.5.3.4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Paso 2.5.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 2 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Paso 2.5.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Paso 2.5.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.5.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.5.6

Establece $x^{2} - x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.6.1

Establece $x^{2} - x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Paso 2.5.6.2

Resuelve $x^{2} - x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3

Simplifica.

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Paso 2.5.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.6.2.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.5.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.6.2.4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.5.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.6.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.6.2.5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.5.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.6.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 2 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{2}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 3.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$2 (- 1) - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 2 - \frac{1}{1}$

Paso 4.1.2.1.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.1.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$- 2 - \frac{1}{1}$

Paso 4.1.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- 2 - 1 \cdot 1$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 - 1$

Paso 4.1.2.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$- 3$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$2 (0) - \frac{1}{{(0)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$2 (0) - \frac{1}{0}$

Paso 4.2.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(- 1, - 3)$

Paso 5