Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 32 x + 4$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 32 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 32 x$ con respecto a $x$ es $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $- 32$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma $4 x^{3} - 32$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 32$ .

$4 x^{3} - 32$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 32 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 32 = 0$

Paso 2.2

Suma $32$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} = 32$

Paso 2.3

Resta $32$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} - 32 = 0$

Paso 2.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3} - 32$ .

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Paso 2.4.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 32 = 0$

Paso 2.4.1.2

Factoriza $4$ de $- 32$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 8 = 0$

Paso 2.4.1.3

Factoriza $4$ de $4 x^{3} + 4 \cdot - 8$ .

$4 (x^{3} - 8) = 0$

Paso 2.4.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$4 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Paso 2.4.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Paso 2.4.4

Factoriza.

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Paso 2.4.4.1

Simplifica.

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Paso 2.4.4.1.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Paso 2.4.4.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Paso 2.4.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Paso 2.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Paso 2.6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.7

Establece $x^{2} + 2 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.7.1

Establece $x^{2} + 2 x + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Paso 2.7.2

Resuelve $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.7.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3

Simplifica.

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Paso 2.7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 2.7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.7.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.7.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 2.7.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.7.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.2.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 2.7.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.7.2.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.7.2.4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 2.7.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Paso 2.7.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.7.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 2.7.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.7.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.7.2.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 2.7.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 2.7.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $x^{4} - 32 x + 4$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

${(2)}^{4} - 32 \cdot 2 + 4$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$16 - 32 \cdot 2 + 4$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 32$ por $2$ .

$16 - 64 + 4$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.2.1

Resta $64$ de $16$ .

$- 48 + 4$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $- 48$ y $4$ .

$- 44$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(2, - 44)$

Paso 5