Cálculo Ejemplos

$x + \frac{25}{x}$

Paso 1

Escribe $x + \frac{25}{x}$ como una función.

$f (x) = x + \frac{25}{x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{25}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{x}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{25}{x}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{25}{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{25}{x}$ con respecto a $x$ es $25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + 25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 + 25 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 + 25 (- x^{- 2})$

Paso 2.2.4

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$1 - 25 x^{- 2}$

Paso 2.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 25 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Combina los términos.

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Paso 2.4.1.1

Combina $- 25$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 25}{x^{2}}$

Paso 2.4.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{25}{x^{2}}$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$- \frac{25}{x^{2}} + 1$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{25}{x^{2}} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{25}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{25}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{25}{x^{2}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{25}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 25 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 25 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 25 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 25 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 25 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 25 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 3.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 25 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 25 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 25 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 25 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 25 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.9

Resta $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - 25 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.10

Multiplica $- 2$ por $- 25$ .

$f'' (x) = 50 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 50 x^{- 3} + 0$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 50 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Combina $50$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{50}{x^{3}} + 0$

Paso 3.4.2.2

Suma $\frac{50}{x^{3}}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{50}{x^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{25}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia.

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Paso 5.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{25}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{x}]$

Paso 5.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{25}{x}]$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{25}{x}]$ .

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Paso 5.1.2.1

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{25}{x}$ con respecto a $x$ es $25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + 25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 5.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 + 25 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 5.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 + 25 (- x^{- 2})$

Paso 5.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$1 - 25 x^{- 2}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 25 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Combina los términos.

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Paso 5.1.4.1.1

Combina $- 25$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 25}{x^{2}}$

Paso 5.1.4.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{25}{x^{2}}$

Paso 5.1.4.2

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{25}{x^{2}} + 1$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{25}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{25}{x^{2}} + 1$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{25}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{25}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{25}{x^{2}} = - 1$

Paso 6.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 1$

Paso 6.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 6.4

Multiplica cada término en $- \frac{25}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{25}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ .

$- \frac{25}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{25}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 25}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 6.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 25}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 6.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 25 = - x^{2}$

Paso 6.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.5.1

Reescribe la ecuación como $- x^{2} = - 25$ .

$- x^{2} = - 25$

Paso 6.5.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 25$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.5.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 25$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Paso 6.5.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Paso 6.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.3.1

Divide $- 25$ por $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Paso 6.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{25}$

Paso 6.5.4

Simplifica $\pm \sqrt{25}$ .

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Paso 6.5.4.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Paso 6.5.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 5$

Paso 6.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 5$

Paso 6.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 5$

Paso 6.5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 5, - 5$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{25}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x$

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Paso 7.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 7.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 7.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 7.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 5, - 5$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 5$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{50}{{(5)}^{3}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{50}{125}$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $50$ y $125$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza $25$ de $50$ .

$\frac{25 (2)}{125}$

Paso 10.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.2.1

Factoriza $25$ de $125$ .

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Paso 10.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Paso 10.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{5}$

Paso 11

$x = 5$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 5$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 5$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = (5) + \frac{25}{5}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Divide $25$ por $5$ .

$f (5) = 5 + 5$

Paso 12.2.2

Suma $5$ y $5$ .

$f (5) = 10$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $10$ .

$y = 10$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = - 5$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{50}{{(- 5)}^{3}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{50}{- 125}$

Paso 14.2

Cancela el factor común de $50$ y $- 125$ .

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Paso 14.2.1

Factoriza $25$ de $50$ .

$\frac{25 (2)}{- 125}$

Paso 14.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.2.2.1

Factoriza $25$ de $- 125$ .

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

Paso 14.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

Paso 14.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{- 5}$

Paso 14.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{5}$

Paso 15

$x = - 5$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 5$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = - 5$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = (- 5) + \frac{25}{- 5}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Divide $25$ por $- 5$ .

$f (- 5) = - 5 - 5$

Paso 16.2.2

Resta $5$ de $- 5$ .

$f (- 5) = - 10$

Paso 16.2.3

La respuesta final es $- 10$ .

$y = - 10$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = x + \frac{25}{x}$ .

$(5, 10)$ es un mínimo local

$(- 5, - 10)$ es un máximo local

Paso 18