Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 1$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 2 x^{3} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma $4 x^{3} + 6 x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} + 6 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} + 6 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza $2 x^{2}$ de $4 x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $2 x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$2 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $2 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (3) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (3)$ .

$2 x^{2} (2 x + 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $2 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $2 x + 3$ igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $2 x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 3$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{2}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x^{2} (2 x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $x^{4} + 2 x^{3} - 1$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 1$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 2 {(0)}^{3} - 1$

Paso 4.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 2 \cdot 0 - 1$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 + 0 - 1$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 - 1$

Paso 4.1.2.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - \frac{3}{2}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- \frac{3}{2}$ por $x$ .

${(- \frac{3}{2})}^{4} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

${(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Paso 4.2.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

${(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Paso 4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$\frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Paso 4.2.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{81}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Paso 4.2.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{81}{16} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Paso 4.2.2.1.6

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.2.1.6.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{16} + 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 1$

Paso 4.2.2.1.6.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{16} + 2 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 1$

Paso 4.2.2.1.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 1$

Paso 4.2.2.1.8

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{27}{2^{3}}) - 1$

Paso 4.2.2.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{27}{8}) - 1$

Paso 4.2.2.1.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.10.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27}{8}$ al numerador.

$\frac{81}{16} + 2 (\frac{- 27}{8}) - 1$

Paso 4.2.2.1.10.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{81}{16} + 2 \frac{- 27}{2 (4)} - 1$

Paso 4.2.2.1.10.3

Cancela el factor común.

$\frac{81}{16} + 2 \frac{- 27}{2 \cdot 4} - 1$

Paso 4.2.2.1.10.4

Reescribe la expresión.

$\frac{81}{16} + \frac{- 27}{4} - 1$

Paso 4.2.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{81}{16} - \frac{27}{4} - 1$

Paso 4.2.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.2.2.2.1

Multiplica $\frac{27}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{16} - (\frac{27}{4} \cdot \frac{4}{4}) - 1$

Paso 4.2.2.2.2

Multiplica $\frac{27}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} - 1$

Paso 4.2.2.2.3

Escribe $- 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1}{1}$

Paso 4.2.2.2.4

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Paso 4.2.2.2.5

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Paso 4.2.2.2.6

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Paso 4.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{81 - 27 \cdot 4 - 1 \cdot 16}{16}$

Paso 4.2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.4.1

Multiplica $- 27$ por $4$ .

$\frac{81 - 108 - 1 \cdot 16}{16}$

Paso 4.2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{81 - 108 - 16}{16}$

Paso 4.2.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.5.1

Resta $108$ de $81$ .

$\frac{- 27 - 16}{16}$

Paso 4.2.2.5.2

Resta $16$ de $- 27$ .

$\frac{- 43}{16}$

Paso 4.2.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{43}{16}$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(0, - 1), (- \frac{3}{2}, - \frac{43}{16})$

Paso 5