Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 10 x^{3} + 24 x^{2} + 3 x + 5$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 10 x^{3} + 24 x^{2} + 3 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 10$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $24$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.5.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 + 0$

Paso 1.1.5.2

Suma $4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 = 0$

Paso 2.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx - 0.0602156, 2.42586556, 5.13435004$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $x^{4} - 10 x^{3} + 24 x^{2} + 3 x + 5$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - 0.0602156$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 0.0602156$ por $x$ .

${(- 0.0602156)}^{4} - 10 {(- 0.0602156)}^{3} + 24 {(- 0.0602156)}^{2} + 3 (- 0.0602156) + 5$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $- 0.0602156$ a la potencia de $4$ .

$0.00001314 - 10 {(- 0.0602156)}^{3} + 24 {(- 0.0602156)}^{2} + 3 (- 0.0602156) + 5$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $- 0.0602156$ a la potencia de $3$ .

$0.00001314 - 10 \cdot - 0.00021833 + 24 {(- 0.0602156)}^{2} + 3 (- 0.0602156) + 5$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $- 10$ por $- 0.00021833$ .

$0.00001314 + 0.00218336 + 24 {(- 0.0602156)}^{2} + 3 (- 0.0602156) + 5$

Paso 4.1.2.1.4

Eleva $- 0.0602156$ a la potencia de $2$ .

$0.00001314 + 0.00218336 + 24 \cdot 0.00362591 + 3 (- 0.0602156) + 5$

Paso 4.1.2.1.5

Multiplica $24$ por $0.00362591$ .

$0.00001314 + 0.00218336 + 0.08702206 + 3 (- 0.0602156) + 5$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $3$ por $- 0.0602156$ .

$0.00001314 + 0.00218336 + 0.08702206 - 0.18064681 + 5$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $0.00001314$ y $0.00218336$ .

$0.00219651 + 0.08702206 - 0.18064681 + 5$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $0.00219651$ y $0.08702206$ .

$0.08921857 - 0.18064681 + 5$

Paso 4.1.2.2.3

Resta $0.18064681$ de $0.08921857$ .

$- 0.09142824 + 5$

Paso 4.1.2.2.4

Suma $- 0.09142824$ y $5$ .

$4.90857175$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 2.42586556$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $2.42586556$ por $x$ .

${(2.42586556)}^{4} - 10 {(2.42586556)}^{3} + 24 {(2.42586556)}^{2} + 3 (2.42586556) + 5$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $2.42586556$ a la potencia de $4$ .

$34.63115044 - 10 {(2.42586556)}^{3} + 24 {(2.42586556)}^{2} + 3 (2.42586556) + 5$

Paso 4.2.2.1.2

Eleva $2.42586556$ a la potencia de $3$ .

$34.63115044 - 10 \cdot 14.27579126 + 24 {(2.42586556)}^{2} + 3 (2.42586556) + 5$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $- 10$ por $14.27579126$ .

$34.63115044 - 142.75791264 + 24 {(2.42586556)}^{2} + 3 (2.42586556) + 5$

Paso 4.2.2.1.4

Eleva $2.42586556$ a la potencia de $2$ .

$34.63115044 - 142.75791264 + 24 \cdot 5.88482373 + 3 (2.42586556) + 5$

Paso 4.2.2.1.5

Multiplica $24$ por $5.88482373$ .

$34.63115044 - 142.75791264 + 141.23576974 + 3 (2.42586556) + 5$

Paso 4.2.2.1.6

Multiplica $3$ por $2.42586556$ .

$34.63115044 - 142.75791264 + 141.23576974 + 7.27759669 + 5$

Paso 4.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.2.1

Resta $142.75791264$ de $34.63115044$ .

$- 108.1267622 + 141.23576974 + 7.27759669 + 5$

Paso 4.2.2.2.2

Suma $- 108.1267622$ y $141.23576974$ .

$33.10900753 + 7.27759669 + 5$

Paso 4.2.2.2.3

Suma $33.10900753$ y $7.27759669$ .

$40.38660422 + 5$

Paso 4.2.2.2.4

Suma $40.38660422$ y $5$ .

$45.38660422$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 5.13435004$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $5.13435004$ por $x$ .

${(5.13435004)}^{4} - 10 {(5.13435004)}^{3} + 24 {(5.13435004)}^{2} + 3 (5.13435004) + 5$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $5.13435004$ a la potencia de $4$ .

$694.93133641 - 10 {(5.13435004)}^{3} + 24 {(5.13435004)}^{2} + 3 (5.13435004) + 5$

Paso 4.3.2.1.2

Eleva $5.13435004$ a la potencia de $3$ .

$694.93133641 - 10 \cdot 135.34942707 + 24 {(5.13435004)}^{2} + 3 (5.13435004) + 5$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica $- 10$ por $135.34942707$ .

$694.93133641 - 1353.49427072 + 24 {(5.13435004)}^{2} + 3 (5.13435004) + 5$

Paso 4.3.2.1.4

Eleva $5.13435004$ a la potencia de $2$ .

$694.93133641 - 1353.49427072 + 24 \cdot 26.36155034 + 3 (5.13435004) + 5$

Paso 4.3.2.1.5

Multiplica $24$ por $26.36155034$ .

$694.93133641 - 1353.49427072 + 632.67720819 + 3 (5.13435004) + 5$

Paso 4.3.2.1.6

Multiplica $3$ por $5.13435004$ .

$694.93133641 - 1353.49427072 + 632.67720819 + 15.40305012 + 5$

Paso 4.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.3.2.2.1

Resta $1353.49427072$ de $694.93133641$ .

$- 658.5629343 + 632.67720819 + 15.40305012 + 5$

Paso 4.3.2.2.2

Suma $- 658.5629343$ y $632.67720819$ .

$- 25.88572611 + 15.40305012 + 5$

Paso 4.3.2.2.3

Suma $- 25.88572611$ y $15.40305012$ .

$- 10.48267598 + 5$

Paso 4.3.2.2.4

Suma $- 10.48267598$ y $5$ .

$- 5.48267598$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(- 0.0602156, 4.90857175), (2.42586556, 45.38660422), (5.13435004, - 5.48267598)$

Paso 5