Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = y - 3$ y $g (y) = y^{2} - 3 y + 9$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \frac{d}{d y} (y - 3) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + 0) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \cdot 1 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Multiplica $y^{2} - 3 y + 9$ por $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 3 y + 9$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3 y$ con respecto a $y$ es $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.9

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.10

Como $9$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $9$ con respecto a $y$ es $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + 0)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.11

Suma $2 y - 3$ y $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Expande $(- y + 3) (2 y - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y - 3) + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.6

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.2

Suma $3 y$ y $6 y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.2

Combina los términos opuestos en $y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9$ .

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Paso 1.1.3.2.2.1

Resta $9$ de $9$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y + 0}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.2.2

Suma $y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y$ y $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.3

Resta $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} - 3 y + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.4

Suma $- 3 y$ y $9 y$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $y$ de $- y^{2} + 6 y$ .

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Paso 1.1.3.3.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{y (- y) + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2

Factoriza $y$ de $6 y$ .

$f' (y) = \frac{y (- y) + y \cdot 6}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.3

Factoriza $y$ de $y (- y) + y \cdot 6$ .

$f' (y) = \frac{y (- y + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y) + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y) - 1 \cdot - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (- 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.7

Reescribe $- (y - 6)$ como $- 1 (y - 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- 1 (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (y) = - \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$y (y - 6) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Simplifica $y (y - 6)$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

Paso 2.3.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.2.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} + y \cdot - 6 = 0$

Paso 2.3.1.2.2

Mueve $- 6$ a la izquierda de $y$ .

$y^{2} - 6 y = 0$

Paso 2.3.2

Factoriza $y$ de $y^{2} - 6 y$ .

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y \cdot y - 6 y = 0$

Paso 2.3.2.2

Factoriza $y$ de $- 6 y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

Paso 2.3.2.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y \cdot - 6$ .

$y (y - 6) = 0$

Paso 2.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y = 0$

$y - 6 = 0$

Paso 2.3.4

Establece $y$ igual a $0$ .

$y = 0$

Paso 2.3.5

Establece $y - 6$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 2.3.5.1

Establece $y - 6$ igual a $0$ .

$y - 6 = 0$

Paso 2.3.5.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 6$

Paso 2.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $y (y - 6) = 0$ verdadera.

$y = 0, 6$

Paso 3

Evalúa $\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 3.1

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ is constant with respect to $x$ .

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

Paso 3.2

Enumera todos los puntos.

$(0, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}), (6, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9})$

Paso 4