Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 2$ y $g (x) = x^{2} - 3 x - 10$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Multiplica $x^{2} - 3 x - 10$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3 x - 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.2.9

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.2.10

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.2.11

Suma $2 x - 3$ y $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 1 \cdot 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Expande $(- x - 2) (2 x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.2

Resta $4 x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x - 10 - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.3

Resta $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x - 10 + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.4

Suma $- 10$ y $6$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.3.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 1.1.3.3.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 x$ .

$\frac{- x^{2} - 4 (x) - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Reescribe $- 4$ como $- 2$ más $- 2$

$\frac{- x^{2} + (- 2 - 2) x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} - 2 x) - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 2) + 2 (- x - 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 2$ .

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.3.4.1

Factoriza $x^{2} - 3 x - 10$ con el método AC.

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Paso 1.1.3.4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 5, 2$

Paso 1.1.3.4.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{((x - 5) (x + 2))}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2

Aplica la regla del producto a $(x - 5) (x + 2)$ .

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.5.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (2)) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.4

Reescribe $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.5

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.6

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1})}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{1 + 1}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Cancela el factor común de ${(x + 2)}^{2}$ .

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Paso 1.1.3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 5)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 3.2.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 4

Evalúa $\frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 5$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $5$ por $x$ .

$\frac{(5) + 2}{{(5)}^{2} - 3 \cdot 5 - 10}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(5) + 2}{25 - 3 \cdot 5 - 10}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$\frac{(5) + 2}{25 - 15 - 10}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 4.1.2.2.1

Resta $15$ de $25$ .

$\frac{(5) + 2}{10 - 10}$

Paso 4.1.2.2.2

Resta $10$ de $10$ .

$\frac{(5) + 2}{0}$

Paso 4.1.2.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{(5) + 2}{0}$

Paso 4.1.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 5

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos