Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $- 20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 20 x$ con respecto a $x$ es $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 20$ por $1$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$ y $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$

Paso 2.2

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$5 u^{2} - 15 u - 20 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Factoriza $5$ de $5 u^{2} - 15 u - 20$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Factoriza $5$ de $5 u^{2}$ .

$5 (u^{2}) - 15 u - 20 = 0$

Paso 2.3.1.2

Factoriza $5$ de $- 15 u$ .

$5 (u^{2}) + 5 (- 3 u) - 20 = 0$

Paso 2.3.1.3

Factoriza $5$ de $- 20$ .

$5 u^{2} + 5 (- 3 u) + 5 \cdot - 4 = 0$

Paso 2.3.1.4

Factoriza $5$ de $5 u^{2} + 5 (- 3 u)$ .

$5 (u^{2} - 3 u) + 5 \cdot - 4 = 0$

Paso 2.3.1.5

Factoriza $5$ de $5 (u^{2} - 3 u) + 5 \cdot - 4$ .

$5 (u^{2} - 3 u - 4) = 0$

Paso 2.3.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Factoriza $u^{2} - 3 u - 4$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 2.3.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$5 ((u - 4) (u + 1)) = 0$

Paso 2.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$5 (u - 4) (u + 1) = 0$

Paso 2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 1 = 0$

Paso 2.5

Establece $u - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece $u - 4$ igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 4$

Paso 2.6

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 2.6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $5 (u - 4) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = 4, - 1$

Paso 2.8

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 4$

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Paso 2.9

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 4$

Paso 2.10

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 2.10.2

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.10.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 2.10.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 2.10.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 2.10.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 2.11

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Paso 2.12

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = - 1$

Paso 2.12.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 2.12.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 2.12.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 2.12.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 2.12.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 2.13

La solución a $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$ es $x = 2, - 2, i, - i$ .

$x = 2, - 2, i, - i$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa en $x = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

${(2)}^{5} - 5 {(2)}^{3} - 20 \cdot 2 - 2$

Paso 4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$32 - 5 {(2)}^{3} - 20 \cdot 2 - 2$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$32 - 5 \cdot 8 - 20 \cdot 2 - 2$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $8$ .

$32 - 40 - 20 \cdot 2 - 2$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 20$ por $2$ .

$32 - 40 - 40 - 2$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.2.1

Resta $40$ de $32$ .

$- 8 - 40 - 2$

Paso 4.1.2.2.2

Resta $40$ de $- 8$ .

$- 48 - 2$

Paso 4.1.2.2.3

Resta $2$ de $- 48$ .

$- 50$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

${(- 2)}^{5} - 5 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2 - 2$

Paso 4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $5$ .

$- 32 - 5 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2 - 2$

Paso 4.2.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- 32 - 5 \cdot - 8 - 20 \cdot - 2 - 2$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 8$ .

$- 32 + 40 - 20 \cdot - 2 - 2$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $- 20$ por $- 2$ .

$- 32 + 40 + 40 - 2$

Paso 4.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.1

Suma $- 32$ y $40$ .

$8 + 40 - 2$

Paso 4.2.2.2.2

Suma $8$ y $40$ .

$48 - 2$

Paso 4.2.2.2.3

Resta $2$ de $48$ .

$46$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(2, - 50), (- 2, 46)$

Paso 5