Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 1}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - (x - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - (x - 1)}{x^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - x - - 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.2.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 - - 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.2.2

Resta $- 1$ de $0$ .

$\frac{- - 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $\frac{x - 1}{x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{(0) - 1}{0}$

Paso 4.1.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 5

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos