Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$ como una ecuación.

$y = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{6}{5} \cdot \cos (y)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{6}{5} \cdot \cos (y) = x$ .

$\frac{6}{5} \cdot \cos (y) = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6} (\frac{6}{5} \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $\frac{5}{6} (\frac{6}{5} \cos (y))$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Combina $\frac{6}{5}$ y $\cos (y)$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{6 \cos (y)}{5} = \frac{5}{6} x$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{6 \cos (y)}{5} = \frac{5}{6} x$

Paso 3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6} (6 \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

Paso 3.3.1.1.3

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.1.1.3.1

Factoriza $6$ de $6 \cos (y)$ .

$\frac{1}{6} (6 \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

Paso 3.3.1.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{6} (6 \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

Paso 3.3.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\cos (y) = \frac{5}{6} x$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Combina $\frac{5}{6}$ y $x$ .

$\cos (y) = \frac{5 x}{6}$

Paso 3.4

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$y = \arccos (\frac{5 x}{6})$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$ es la inversa de $f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{5 (\frac{6}{5} \cdot \cos (x))}{6})$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Combina $5$ y $\frac{6}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 \cdot 6}{5} \cdot \cos (x)}{6})$

Paso 5.2.3.2

Combina $\frac{5 \cdot 6}{5}$ y $\cos (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 \cdot (6 \cos (x))}{5}}{6})$

Paso 5.2.4

Multiplica $5$ por $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{30 \cos (x)}{5}}{6})$

Paso 5.2.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.5.1

Reduce la expresión $\frac{30 \cos (x)}{5}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.5.1.1

Factoriza $5$ de $30 \cos (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 (6 \cos (x))}{5}}{6})$

Paso 5.2.5.1.2

Factoriza $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 (6 \cos (x))}{5 (1)}}{6})$

Paso 5.2.5.1.3

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 (6 \cos (x))}{5 \cdot 1}}{6})$

Paso 5.2.5.1.4

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{6 \cos (x)}{1}}{6})$

Paso 5.2.5.2

Divide $6 \cos (x)$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{6 \cos (x)}{6})$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.2.6.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{6 \cos (x)}{6})$

Paso 5.2.6.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\cos (x))$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\arccos (\frac{5 x}{6}))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{6}{5} \cdot \cos (\arccos (\frac{5 x}{6}))$

Paso 5.3.3

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{6}{5} \cdot \frac{5 x}{6}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{6}{5} \cdot \frac{5 x}{6}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.5.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x))$

Paso 5.3.5.2

Cancela el factor común.

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Paso 5.3.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$ es la inversa de $f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$