Cálculo Ejemplos

$\frac{x + 2}{x - 6}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{y + 2}{y - 6}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Multiplica la ecuación por $y - 6$ .

$(y - 6) (x) = (\frac{y + 2}{y - 6}) (y - 6)$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y x - 6 x = (\frac{y + 2}{y - 6}) (y - 6)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $y - 6$ .

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común.

$y x - 6 x = \frac{y + 2}{y - 6} (y - 6)$

Paso 2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y x - 6 x = y + 2$

Paso 2.4

Resuelve $y$

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Paso 2.4.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y x - 6 x - y = 2$

Paso 2.4.2

Suma $6 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y x - y = 2 + 6 x$

Paso 2.4.3

Factoriza $y$ de $y x - y$ .

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Paso 2.4.3.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$y (x) - y = 2 + 6 x$

Paso 2.4.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 2 + 6 x$

Paso 2.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 2 + 6 x$

Paso 2.4.4

Divide cada término en $y (x - 1) = 2 + 6 x$ por $x - 1$ y simplifica.

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Paso 2.4.4.1

Divide cada término en $y (x - 1) = 2 + 6 x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

Paso 2.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.4.2.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 2.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

Paso 2.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

Paso 2.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 + 6 x}{x - 1}$

Paso 2.4.4.3.2

Factoriza $2$ de $2 + 6 x$ .

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Paso 2.4.4.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (1) + 6 x}{x - 1}$

Paso 2.4.4.3.2.2

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$y = \frac{2 (1) + 2 (3 x)}{x - 1}$

Paso 2.4.4.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (3 x)$ .

$y = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x + 2}{x - 6}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (1 + 3 (\frac{x + 2}{x - 6}))}{(\frac{x + 2}{x - 6}) - 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1

Combina $3$ y $\frac{x + 2}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (1 + \frac{3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Paso 4.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x - 6}{x - 6} + \frac{3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Paso 4.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x - 6 + 3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Paso 4.2.3.4

Reordena los términos.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 (x + 2) - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Paso 4.2.3.5

Reescribe $\frac{x + 3 (x + 2) - 6}{x - 6}$ en forma factorizada.

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Paso 4.2.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 x + 3 \cdot 2 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Paso 4.2.3.5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 x + 6 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Paso 4.2.3.5.3

Suma $x$ y $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x + 6 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Paso 4.2.3.5.4

Resta $6$ de $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x + 0}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Paso 4.2.3.5.5

Suma $4 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Paso 4.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.4.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1 \cdot \frac{x - 6}{x - 6}}$

Paso 4.2.4.2

Combina $- 1$ y $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} + \frac{- (x - 6)}{x - 6}}$

Paso 4.2.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - (x - 6)}{x - 6}}$

Paso 4.2.4.4

Reescribe $\frac{x + 2 - (x - 6)}{x - 6}$ en forma factorizada.

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Paso 4.2.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - x + 6}{x - 6}}$

Paso 4.2.4.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - x + 6}{x - 6}}$

Paso 4.2.4.4.3

Resta $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{0 + 2 + 6}{x - 6}}$

Paso 4.2.4.4.4

Suma $0$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{2 + 6}{x - 6}}$

Paso 4.2.4.4.5

Suma $2$ y $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{8}{x - 6}}$

Paso 4.2.5

Combina $2$ y $\frac{4 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 6}}{\frac{8}{x - 6}}$

Paso 4.2.6

Multiplica $2$ por $4$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{\frac{8 x}{x - 6}}{\frac{8}{x - 6}}$

Paso 4.2.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

Paso 4.2.8

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.2.8.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 (x)}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

Paso 4.2.8.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

Paso 4.2.8.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Paso 4.2.9

Cancela el factor común de $x - 6$ .

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Paso 4.2.9.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Paso 4.2.9.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) + 2$ y $(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $2$ de $\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2 \cdot 1}{\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1} - 6}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $2$ de $2 \frac{1 + 3 x}{x - 1} + 2 (1)$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

Paso 4.3.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.3.4.1

Factoriza $2$ de $\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) - 6}$

Paso 4.3.3.4.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2 \cdot - 3}$

Paso 4.3.3.4.3

Factoriza $2$ de $2 \frac{1 + 3 x}{x - 1} + 2 \cdot - 3$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Paso 4.3.3.4.4

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Paso 4.3.3.4.5

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$

Paso 4.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Paso 4.3.4.1

Multiplica $\frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$

Paso 4.3.4.2

Combinar.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Paso 4.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.6

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 4.3.6.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 4.3.6.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.6.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.6.2

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 4.3.6.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.6.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.7.1

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + x - 1}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.7.2

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{3 x + x + 0}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.7.3

Suma $3 x + x$ y $0$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{3 x + x}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.7.4

Suma $3 x$ y $x$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.8

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3}$

Paso 4.3.8.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3}$

Paso 4.3.8.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x - 3 \cdot x + 3}$

Paso 4.3.8.4

Suma $1$ y $3$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{3 x - 3 x + 4}$

Paso 4.3.8.5

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{0 + 4}$

Paso 4.3.8.6

Suma $0$ y $4$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 4.3.9

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.3.9.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 4.3.9.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x + 2}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$