Cálculo Ejemplos

$\sum_{x = 1}^{8} 15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{x + 1}}{a_{x}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{x}$ y $a_{x + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ y ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ de ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide ${(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$

Paso 2.2.3

Suma $x$ y $0$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - (x - 1)}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x - - 1}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x + 1}$

Paso 2.2.5

Resta $x$ de $x$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{0 + 1}$

Paso 2.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{1}$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$r = - \frac{5}{7}$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $x$ en $15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ .

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{1 - 1}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{0}$

Paso 3.2.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{7}$ .

$a = 15 ({(- 1)}^{0} {(\frac{5}{7})}^{0})$

Paso 3.2.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{7}$ .

$a = 15 ({(- 1)}^{0} \frac{5^{0}}{7^{0}})$

Paso 3.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 15 (1 \frac{5^{0}}{7^{0}})$

Paso 3.2.4

Multiplica $\frac{5^{0}}{7^{0}}$ por $1$ .

$a = 15 \frac{5^{0}}{7^{0}}$

Paso 3.2.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 15 \frac{1}{7^{0}}$

Paso 3.2.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 15 (\frac{1}{1})$

Paso 3.2.7

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.2.7.1

Cancela el factor común.

$a = 15 (\frac{1}{1})$

Paso 3.2.7.2

Reescribe la expresión.

$a = 15 \cdot 1$

Paso 3.2.8

Multiplica $15$ por $1$ .

$a = 15$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$15 \frac{1 - {(- \frac{5}{7})}^{8}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{7}$ .

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{5}{7})}^{8})}{1 - - \frac{5}{7}}$

Paso 5.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{7}$ .

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{5^{8}}{7^{8}})}{1 - - \frac{5}{7}}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{8}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{8}$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{8}$ por $- 1$ .

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Paso 5.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Paso 5.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Paso 5.1.2.3

Suma $8$ y $1$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Paso 5.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $9$ .

$15 \frac{1 - \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Paso 5.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $8$ .

$15 \frac{1 - \frac{390625}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Paso 5.1.5

Eleva $7$ a la potencia de $8$ .

$15 \frac{1 - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Paso 5.1.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$15 \frac{\frac{5764801}{5764801} - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Paso 5.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$15 \frac{\frac{5764801 - 390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Paso 5.1.8

Resta $390625$ de $5764801$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Paso 5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- - \frac{5}{7}$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + 1 (\frac{5}{7})}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $\frac{5}{7}$ por $1$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + \frac{5}{7}}$

Paso 5.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7}{7} + \frac{5}{7}}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7 + 5}{7}}$

Paso 5.2.4

Suma $7$ y $5$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{12}{7}}$

Paso 5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$15 (\frac{5374176}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $12$ de $5374176$ .

$15 (\frac{12 (447848)}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$15 (\frac{12 \cdot 447848}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$15 (\frac{447848}{5764801} \cdot 7)$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $7$ de $5764801$ .

$15 (\frac{447848}{7 (823543)} \cdot 7)$

Paso 5.5.2

Cancela el factor común.

$15 (\frac{447848}{7 \cdot 823543} \cdot 7)$

Paso 5.5.3

Reescribe la expresión.

$15 (\frac{447848}{823543})$

Paso 5.6

Multiplica $15 (\frac{447848}{823543})$ .

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Paso 5.6.1

Combina $15$ y $\frac{447848}{823543}$ .

$\frac{15 \cdot 447848}{823543}$

Paso 5.6.2

Multiplica $15$ por $447848$ .

$\frac{6717720}{823543}$