Cálculo Ejemplos

$f (x) = 11 - 3 x^{2}$ , $[0, 1]$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$11 - 3 x^{2} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $11 - 3 x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x^{2} = - 11$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $- 3 x^{2} = - 11$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $- 3 x^{2} = - 11$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 11}{- 3}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 11}{- 3}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 11}{- 3}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{2} = \frac{11}{3}$

Paso 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{11}{3}}$

Paso 1.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{11}{3}}$ .

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Paso 1.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{11}{3}}$ como $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 1.2.4.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 1.2.4.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 1.2.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 1.2.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 1.2.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.2.4.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.4.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 1.2.4.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{11 \cdot 3}}{3}$

Paso 1.2.4.4.2

Multiplica $11$ por $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$

Paso 1.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{33}}{3}$

Paso 1.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{33}}{3}$

Paso 1.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{33}}{3}, - \frac{\sqrt{33}}{3}$

Paso 1.3

Sustituye $\frac{\sqrt{33}}{3}$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(- \frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(\frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(- \frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

Paso 2

Reordena $11$ y $- 3 x^{2}$ .

$y = - 3 x^{2} + 11$

Paso 3

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Paso 4

Integra para obtener el área entre $0$ y $1$ .

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Paso 4.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 - (0) d x$

Paso 4.2

Resta $0$ de $- 3 x^{2} + 11$ .

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 d x$

Paso 4.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 11 d x$

Paso 4.4

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$- 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 11 d x$

Paso 4.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 11 d x$

Paso 4.6

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 11 d x$

Paso 4.7

Aplica la regla de la constante.

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 11 x]_{0}^{1}$

Paso 4.8

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.8.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $0$ .

$- 3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 11 x]_{0}^{1}$

Paso 4.8.2

Evalúa $11 x$ en $1$ y en $0$ .

$- 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3

Simplifica.

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Paso 4.8.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 4.8.3.3.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.8.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - 0) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} + 0) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3.5

Suma $\frac{1}{3}$ y $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3.6

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3.7

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 4.8.3.7.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.8.3.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{1} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3.7.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3.8

Multiplica $11$ por $1$ .

$- 1 + 11 - 11 \cdot 0$

Paso 4.8.3.9

Multiplica $- 11$ por $0$ .

$- 1 + 11 + 0$

Paso 4.8.3.10

Suma $11$ y $0$ .

$- 1 + 11$

Paso 4.8.3.11

Suma $- 1$ y $11$ .

$10$

Paso 5