Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{3} - 7 x^{2} - 4$ , $(4, 140)$

Paso 1

Obtén la derivada de la función. Para obtener la pendiente de la tangente de la ecuación a la línea, evalúa la derivada en el nivel deseado de $x$ .

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 7 x^{2} - 4)$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 7 x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

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Paso 4.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$12 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 x^{2} - 14 x + 0$

Paso 5.2

Suma $12 x^{2} - 14 x$ y $0$ .

$12 x^{2} - 14 x$

Paso 6

La derivada de la ecuación en los términos de $y$ también se puede representar como $f' (x)$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 14 x$

Paso 7

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = 12 {(4)}^{2} - 14 \cdot 4$

Paso 8

Simplifica cada término.

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Paso 8.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = 12 \cdot 16 - 14 \cdot 4$

Paso 8.2

Multiplica $12$ por $16$ .

$f' (4) = 192 - 14 \cdot 4$

Paso 8.3

Multiplica $- 14$ por $4$ .

$f' (4) = 192 - 56$

Paso 9

Resta $56$ de $192$ .

$f' (4) = 136$

Paso 10

La derivada en $(4, 140)$ es $136$ .

$136$