Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{\ln (\ln (x))}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{1}{\ln (\ln (x))}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\ln (\ln (x)) = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\ln (x))} = e^{0}$

Paso 2.2

Reescribe $\ln (\ln (x)) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \ln (x)$

Paso 2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $\ln (x) = e^{0}$ .

$\ln (x) = e^{0}$

Paso 2.3.2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{e^{0}}$

Paso 2.3.3

Reescribe $\ln (x) = e^{0}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{e^{0}} = x$

Paso 2.3.4

Resuelve $x$

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Paso 2.3.4.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{e^{0}}$ .

$x = e^{e^{0}}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica $e^{e^{0}}$ .

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Paso 2.3.4.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x = e^{1}$

Paso 2.3.4.2.2

Simplifica.

$x = e$

Paso 3

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 4

Establece el argumento en $\ln (\ln (x))$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\ln (x) \leq 0$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\ln (x) = 0$

Paso 5.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.2.1

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{0}$

Paso 5.2.2

Reescribe $\ln (x) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x$

Paso 5.2.3

Resuelve $x$

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Paso 5.2.3.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{0}$ .

$x = e^{0}$

Paso 5.2.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x = 1$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $\ln (x)$ .

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Paso 5.3.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x > 0$

Paso 5.3.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(0, \infty)$

Paso 5.4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Paso 5.5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 5.5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\ln (- 2) \leq 0$

Paso 5.5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.5.1.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.5.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.5.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Paso 5.5.2.2

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$\ln (0.5) \leq 0$

Paso 5.5.2.3

$- 0.69314718$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.5.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.5.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 5.5.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\ln (4) \leq 0$

Paso 5.5.3.3

$1.38629436$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.5.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 5.6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x \leq 1$

Paso 6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 1, x = e$

$(- \infty, 1] \cup [e, e]$

Paso 7