Cálculo Ejemplos

$f' (x) = 9 x^{2} + 4 x - 10$ , $x = - 8$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 8$ .

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Paso 1.1

Sustituye $- 8$ por $x$ .

$y = 9 {(- 8)}^{2} + 4 (- 8) - 10$

Paso 1.2

Simplifica $9 {(- 8)}^{2} + 4 (- 8) - 10$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$y = 9 \cdot 64 + 4 (- 8) - 10$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $9$ por $64$ .

$y = 576 + 4 (- 8) - 10$

Paso 1.2.1.3

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$y = 576 - 32 - 10$

Paso 1.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 1.2.2.1

Resta $32$ de $576$ .

$y = 544 - 10$

Paso 1.2.2.2

Resta $10$ de $544$ .

$y = 534$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 8$ y $y = 534$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} + 4 x - 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$18 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 2.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$18 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$18 x + 4 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $18 x + 4$ y $0$ .

$18 x + 4$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = - 8$ .

$18 (- 8) + 4$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Multiplica $18$ por $- 8$ .

$- 144 + 4$

Paso 2.6.2

Suma $- 144$ y $4$ .

$- 140$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- 140$ y un punto dado $(- 8, 534)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (534) = - 140 \cdot (x - (- 8))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 534 = - 140 \cdot (x + 8)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- 140 \cdot (x + 8)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 534 = 0 + 0 - 140 \cdot (x + 8)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 534 = - 140 \cdot (x + 8)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 534 = - 140 x - 140 \cdot 8$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 140$ por $8$ .

$y - 534 = - 140 x - 1120$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $534$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 140 x - 1120 + 534$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 1120$ y $534$ .

$y = - 140 x - 586$

Paso 4