Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{2 - 11 x}$ , $x = \frac{1}{11}$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = \frac{1}{11}$ .

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Paso 1.1

Sustituye $\frac{1}{11}$ por $x$ .

$y = \frac{\frac{1}{11}}{2 - 11 (\frac{1}{11})}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{\frac{1}{11}}{2 - 11 (\frac{1}{11})}$

Paso 1.2.2

Simplifica $\frac{\frac{1}{11}}{2 - 11 (\frac{1}{11})}$ .

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Paso 1.2.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{2 - 11 (\frac{1}{11})}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Factoriza $11$ de $- 11$ .

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{2 + 11 (- 1) \frac{1}{11}}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{2 + 11 \cdot - 1 \frac{1}{11}}$

Paso 1.2.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{2 - 1}$

Paso 1.2.2.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 1.2.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.2.2.3.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 1.2.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 1.2.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{11} \cdot 1$

Paso 1.2.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{11}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{11}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{1}{11}$ y $y = \frac{1}{11}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 2 - 11 x$ .

$\frac{(2 - 11 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(2 - 11 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Multiplica $2 - 11 x$ por $1$ .

$\frac{2 - 11 x - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 11 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 11 x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 - 11 x - x (0 + \frac{d}{d x} [- 11 x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Paso 2.2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x \frac{d}{d x} [- 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Paso 2.2.6

Como $- 11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 11 x$ con respecto a $x$ es $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x (- 11 \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Paso 2.2.7

Multiplica $- 11$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x \cdot 1}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Paso 2.2.9

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.9.1

Multiplica $11$ por $1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Paso 2.2.9.2

Suma $- 11 x$ y $11 x$ .

$\frac{2 + 0}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Paso 2.2.9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.9.3.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Paso 2.2.9.3.2

Reordena los términos.

$\frac{2}{{(- 11 x + 2)}^{2}}$

Paso 2.3

Evalúa la derivada en $x = \frac{1}{11}$ .

$\frac{2}{{(- 11 (\frac{1}{11}) + 2)}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.4.1.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 2.4.1.1.1

Factoriza $11$ de $- 11$ .

$\frac{2}{{(11 (- 1) \frac{1}{11} + 2)}^{2}}$

Paso 2.4.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{{(11 \cdot - 1 \frac{1}{11} + 2)}^{2}}$

Paso 2.4.1.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{{(- 1 + 2)}^{2}}$

Paso 2.4.1.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{2}{1^{2}}$

Paso 2.4.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{1}$

Paso 2.4.2

Divide $2$ por $1$ .

$2$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $2$ y un punto dado $(\frac{1}{11}, \frac{1}{11})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{11}) = 2 \cdot (x - (\frac{1}{11}))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{11} = 2 \cdot (x - \frac{1}{11})$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $2 \cdot (x - \frac{1}{11})$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{1}{11} = 0 + 0 + 2 \cdot (x - \frac{1}{11})$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{1}{11} = 2 \cdot (x - \frac{1}{11})$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{11} = 2 x + 2 (- \frac{1}{11})$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $2 (- \frac{1}{11})$ .

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Paso 3.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y - \frac{1}{11} = 2 x - 2 (\frac{1}{11})$

Paso 3.3.1.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{11}$ .

$y - \frac{1}{11} = 2 x + \frac{- 2}{11}$

Paso 3.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \frac{1}{11} = 2 x - \frac{2}{11}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $\frac{1}{11}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2 x - \frac{2}{11} + \frac{1}{11}$

Paso 3.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 2 x + \frac{- 2 + 1}{11}$

Paso 3.3.2.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$y = 2 x + \frac{- 1}{11}$

Paso 3.3.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 2 x - \frac{1}{11}$

Paso 4