Cálculo Ejemplos

$f (x) = x - \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 1$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 1 - \frac{1}{1^{2}}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Simplifica $(1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$ .

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = 1 - \frac{1}{1}$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = 1 - \frac{1}{1}$

Paso 1.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = 1 - 1 \cdot 1$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = 1 - 1$

Paso 1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$y = 0$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{1}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$1 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$1 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.10

Resta $4$ de $1$ .

$1 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.11

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$1 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.12

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$1 + 2 x^{- 3} + 0$

Paso 2.2.13

Suma $2 x^{- 3}$ y $0$ .

$1 + 2 x^{- 3}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 2.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$1 + \frac{2}{x^{3}}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$\frac{2}{x^{3}} + 1$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$\frac{2}{{(1)}^{3}} + 1$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{1} + 1$

Paso 2.5.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$2 + 1$

Paso 2.5.2

Suma $2$ y $1$ .

$3$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $3$ y un punto dado $(1, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 3 \cdot (x - (1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 3 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 3 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.2

Simplifica $3 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 3 x + 3 \cdot - 1$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y = 3 x - 3$

Paso 4