Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 13 x^{2} + 36$ , $x = 1$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = {(1)}^{4} - 13 {(1)}^{2} + 36$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 1^{4} - 13 {(1)}^{2} + 36$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 1^{4} - 13 \cdot 1^{2} + 36$

Paso 1.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = {(1)}^{4} - 13 {(1)}^{2} + 36$

Paso 1.2.4

Simplifica ${(1)}^{4} - 13 {(1)}^{2} + 36$ .

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Paso 1.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = 1 - 13 {(1)}^{2} + 36$

Paso 1.2.4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = 1 - 13 \cdot 1 + 36$

Paso 1.2.4.1.3

Multiplica $- 13$ por $1$ .

$y = 1 - 13 + 36$

Paso 1.2.4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.2.4.2.1

Resta $13$ de $1$ .

$y = - 12 + 36$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $- 12$ y $36$ .

$y = 24$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 24$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 13 x^{2} + 36$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 13 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 13$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 13 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 13 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 13 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 13 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 13$ .

$4 x^{3} - 26 x + \frac{d}{d x} [36]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} - 26 x + 0$

Paso 2.3.2

Suma $4 x^{3} - 26 x$ y $0$ .

$4 x^{3} - 26 x$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$4 {(1)}^{3} - 26 \cdot 1$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \cdot 1 - 26 \cdot 1$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 - 26 \cdot 1$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $- 26$ por $1$ .

$4 - 26$

Paso 2.5.2

Resta $26$ de $4$ .

$- 22$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- 22$ y un punto dado $(1, 24)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (24) = - 22 \cdot (x - (1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 24 = - 22 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- 22 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 24 = 0 + 0 - 22 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 24 = - 22 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 24 = - 22 x - 22 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 22$ por $- 1$ .

$y - 24 = - 22 x + 22$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $24$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 22 x + 22 + 24$

Paso 3.3.2.2

Suma $22$ y $24$ .

$y = - 22 x + 46$

Paso 4